선형 변환에 대한 공식 찾기 [closed]

Aug 17 2020

선형 변환 공식의 예 찾기 $\varphi$ 그래서:

$$\ker\varphi = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\},$$ $$\operatorname{im}\varphi = \operatorname{span}((2,3,1))$$

그러한 문제에 어떻게 접근합니까? 가장 표준적인 방법이 높이 평가됩니다.

답변

2 ilovebulbasaur Aug 17 2020 at 02:04

$\varphi$ 선형 변환 $\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$, 그래서 행렬 $A$ 대표 $\varphi$ (표준 기준과 관련하여) $3$ 으로 $4$. 자, 만약$$\ker\varphi=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-y+6z+2t=0\}$$ 그런 다음 커널의 모든 $A$ 직교하다 $(1,-1,6,2)$, 그래서 설정합시다 $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ ?&?&?&?\\?&?&?&?\end{bmatrix}.$$나머지 항목을 지정하지 않았기 때문에 아직 완료되지 않았습니다. 그러나 이것은 어렵지 않습니다.$$\text{im}\varphi=\text{span}((2,3,1))$$ 이는 모든 열 벡터가 다음의 스칼라 배수임을 의미합니다. $(2,3,1)$. 예를 들어 첫 번째 열은$1/2$ 타임스 $(2,3,1)$, 제공 $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&?&?&?\\1/2&?&?&?\end{bmatrix}.$$ 이 논리를 계속하면 마지막 세 열을 비슷하게 채울 수 있습니다. $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&-3/2&9&3\\1/2&-1/2&3&1\end{bmatrix}.$$ 이제 끝났습니다.

1 azif00 Aug 17 2020 at 01:55

그것을 관찰하십시오 $\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\}$ 다음 형식의 모든 벡터 집합입니다. $$(y-6z-2t,y,z,t) = y(1,1,0,0) + z(-6,0,1,0) + t(-2,0,0,1)$$ 어디 $y,z$$t$모든 실수에 대해 실행됩니다. 따라서 선형 맵을 선택하십시오.$\varphi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$ 그런 $$\varphi(1,1,0,0) = \varphi(-6,0,1,0) = \varphi(-2,0,0,1) = 0$$$\varphi(v) = (2,3,1)$ 일부 $v \in \mathbb R^4$ 범위에 속하지 않는 $$\{(1,1,0,0),(-6,0,1,0),(-2,0,0,1)\}.$$

ChrisCuster Aug 17 2020 at 02:03

다음 매트릭스는 그러한 것을 설명합니다. $\begin{pmatrix} 2&-2&12&4\\3&-3&18&6\\1&-1&6&2\end{pmatrix}$.