선형 대수-부분 공간 문제의 차원

Question

수학 과목 테스트의 GRE 선형 대수 섹션에 대한 강의 슬라이드에서이 질문을 찾았지만 알아낼 수 없었습니다.

가정 $V$유한 차원 n의 실수 벡터 공간입니다. 다음에서 행렬 집합을 호출합니다.$V$ 그 자체로 $M(V)$.
허락하다$T∈ M(V)$. 두 개의 부분 공간을 고려하십시오.$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ 과 $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.

다음 중 참이어야하는 것은 무엇입니까?

I. 만약 $V$ 고유 벡터 만 포함하는 기저가 있습니다. $T$ 그때 $U=M(V)$.

II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.

III.$\dim(U)< n$.

나는 II가 거짓이어야한다고 생각하지만 I 또는 III의 진실을 알 수 없습니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다!

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$

1이 반드시 사실은 아닙니다. 테이크$n = 2$, 그리고 $T(e_1) = e_1$ 과 $T(e_2) = 2e_2$. 허락하다$X$ 베스트 $X(e_1) = e_1$ 과 $X(e_2) = e_1 + e_2$. 그때$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$,하지만 $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. 그때$TX \neq XT$.

2는 사실입니다. 선형지도 고려$f: M(V) \to M(V)$ 배상 $X$ ...에 $TX - XT$. 그런 다음 우리는 쓸 수 있습니다$W = \im(f)$ 과 $U = \ker(f)$. 그런 다음 순위-무 정리에 의해$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.

3이 반드시 사실은 아닙니다. 테이크$n > 1$ 과 $T =$정체성. 그때$U = M(V)$ 그래서 $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.