세트가 그룹입니까?

Aug 19 2020

허락하다 $A$ 비어 있지 않은 집합이어야합니다. $+$ 연관 이진 연산이며 각각에 대해 $a$$A$, 두지도

  1. $A \to A$ 보내는 $x$ ...에 $x+a$
  2. $A \to A$ 보내는 $x$ ...에 $a+x$

bijective 맵입니다. 문제는$(A, +)$ 그룹인가요?

내 이해 $A$ 정체성이 있고 모든 요소가 역을 가지고 있다면 그룹이지만,이 bijective 맵을 사용하여 증명 / 반증하는 방법을 잘 모르겠습니다. $A$ 그룹입니다.

답변

7 DanShved Aug 19 2020 at 10:07

중립 요소 (정체성)

임의의 요소 수정 $a$. 지도 이후$x \to a + x$ bijective, 요소 $a$ 이지도 아래에 정확히 하나의 사전 이미지가 있습니다. 즉, 고유 한 요소가 있습니다. $e$ 그런 $a + e = a$.

다음 단계는 $\forall y: y + e = y$. 임의 선택$y$. 지도의 bijectivity$x \to x + a$ 존재한다 $x$ 그런 $x + a = y$. 이제 추가$x$ 평등에 왼쪽에 $a + e = a$ (그리고 연관성을 사용하여) 우리는 $y + e = y$, qed.

그래서, $e$오른쪽 중립 요소입니다. 그런 다음$e + e = e$, 그리고 위와 같은 인수로 $e$ 왼쪽 중립 요소이기도합니다.

마지막으로 역의 존재를 증명해야합니다. 임의 선택$x$. 좌우 덧셈의 대 관성으로 요소가 존재한다$y_1$$y_2$ 그런 $y_1 + x = e$$x + y_2 = e$. 이제

$$ y_1 = y_1 + e = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = e + y_2 = y_2. $$

따라서, $y_1$ (또한 $y_2$)는 $x$.

1 ChrisCuster Aug 19 2020 at 10:17

고유 한 ID 요소가 있어야합니다.

독특한 $e_a$ 각각 $a$ 그런 $ae_a=a$.

이제 고유 한 $c$ 그런 $ca=b$, 우리는 그것을 얻습니다 $cae_a=be_a$ 그리고 또한 $cae_a=ca=b$, 그래서 $be_a=b$ 따라서 $e_a=e_b$.

따라서 우리는 고유 한 오른쪽 역이 있음을 알 수 있습니다. 마찬가지로 고유 한 left inverse가 있습니다. 이제 우리는 둘이 같다는 것을 보여줄 필요가 있습니다. 그러나 그것은 쉽습니다.$e_le_r=e_r=e_l$.

이제 bijectivity는 고유 한 $x_a$ 그런 $ax_a=e$. 그리고 비슷하게 독특한$y_a$ 그런 $y_aa=e$. 하지만$y_aax_a=x_a=y_a$.

따라서 우리는 폐쇄와 연관성이 본질적으로 주어지기 때문에 그룹의 네 가지 조건을 충족했습니다.

hal Aug 19 2020 at 21:45

적어도 유한 $A$, 예, 그룹이 있으면 충분합니다.

요구 $\theta_a$$\gamma_a$, 각각 고정 요소에 의한 왼쪽 및 오른쪽 번역 맵 $a\in A$. 자, 가정하자면$\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$ 및 (연관성) $\theta_a\theta_b=\theta_{ab}$. 따라서 (폐쇄)$\{\theta_a, a \in A\}\le \operatorname{Sym}(A)$, 따라서 $\exists \tilde e\in A$ 그런 $\theta_{\tilde e}=Id_A$. 마찬가지로$\gamma_a\gamma_b=\gamma_{ba}$, $\exists \hat e\in A$ 그런 $\gamma_{\hat e}=Id_A$; 그러나$\tilde e=\tilde e\hat e=\hat e$ 따라서 왼쪽과 오른쪽 정체성이 일치합니다. $e:=\tilde e=\hat e$.

이제부터 $\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$, 다음 $\exists(!) \tilde b,\hat b \in A$ 그런 $\theta_a(\tilde b)=\gamma_a(\hat b)=e$ 또는 동등하게 $a\tilde b=\hat ba=e$; 이 후자에서 우리는 예를 들어 $\hat ba=a\hat b$, 언제 $a\tilde b=a\hat b$ 또는 동등하게 $\theta_a(\tilde b)=\theta_a(\hat b)$, 그리고 마지막으로 $\tilde b=\hat b=:a^{-1}$.