세트의 가산 성 $t$ 그런 $E-tB$ 주사가 아니다
분리 가능한 힐베르트 공간 고려 $\mathcal H$ 두 개의 소형자가 인접 연속 연산자 $E,B:\mathcal H \to \mathcal H$. $E$ 주사제입니다.
이제 세트를 고려하십시오 $$\tau = \{t\in [0,1]: E-tB\;\; \mathrm{is}\;\mathrm{NOT}\; \mathrm{injective} \}\,.$$
나는 카디널리티의 $\tau$ 기껏해야 셀 수 있습니다.
쉬운 경우 분명히 모든 것을 $E$ 과 $B$고유 함수의 기초를 공유합니다. 사실, 모두를 위해$t$ $E-tB$ 콤팩트하고 자체 결합되어 있습니다. $$E-tB = \sum_{n=0}^\infty (\lambda_n - t\mu_n)P_n$$ 어디 $P_n$ 고유 공간에있는 프로젝터와 $\lambda_n$ 과 $\mu_n$ 고유 값 $E$ 과 $B$각기. 그래서이 경우$$\tau = \{t\in [0,1]: \lambda_n = t \mu_n\;\;\mathrm{for}\;\mathrm{some}\;n\}\,,$$ 분명히 셀 수 있습니다.
그러나 일반적인 경우를 어떻게 처리합니까? 재산이 여전히 사실입니까?
답변
다음은 특별한 경우의 부분 답변입니다. $E\geq 0$.
모순으로 가정 $\{t_i\}_{i\in I}$ 셀 수없는 하위 집합입니다 $[0,1]$ 그런 $E-t_iB$ 모두에게 주사가 아니다 $i$, 0이 아닌 벡터 선택 $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq H$ 그런 $E(x_i)=t_iB(x_i)$, 모든 $i$.
만약 $t_i\neq t_j$ 그것을주의해라 $$ t_i\langle B(x_i),x_j\rangle = \langle E(x_i),x_j\rangle = \langle x_i,E(x_j)\rangle = \langle x_i,t_jB(x_j)\rangle = t_j\langle B(x_i),x_j\rangle , $$ 그래서 $\langle B(x_i),x_j\rangle =0$, 결과적으로 $\langle E(x_i),x_j\rangle =0$. 그것을 사용하여$E$ 우리가 쓸 수 있다고 긍정적입니다 $E=E^{1/2}E^{1/2}$, 그래서 $$ 0=\langle E(x_i),x_j\rangle = \langle E^{1/2}(x_i),E^{1/2}(x_j)\rangle , $$ 그리고 그것은 다음과 같습니다 $\{E^{1/2}(x_i)\}_{i\in I}$ 셀 수없는 쌍의 직교 벡터 패밀리입니다. $H$, 모순.
편집 (1) : 여기 또 다른 흥미로운 사실이 있습니다. 원래 질문에 대한 대답이 긍정적이면 다음과 같은 가설 없이도 긍정적입니다.$B$ 과 $E$ 자기 인접합니다.
그 이유는 다음과 같습니다. (자체가 아닌) 컴팩트 연산자가 $B$ 과 $E$,와 함께 $E$ 주입, 반례를 산출합니다. 즉, 셀 수없는 하위 집합을 찾을 수 있습니다. $\{t_i\}_{i\in I}\subseteq [0,1]$ 및 해당 가족 $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq H$ 0이 아닌 벡터의 $E(x_i)=t_iB(x_i)$, 모든 $i$.
연산자 고려 $\tilde B$ 과 $\tilde E$, 연기 $H\oplus H$, 다음과 같이 정의됩니다. $$ \tilde B = \pmatrix{0 & B^*\cr B & 0}, \qquad \tilde E = \pmatrix{0 & E^*\cr E & I}, $$ 어디 $I$ ID 연산자를 나타냅니다. $H$. 또한 벡터를 고려하십시오$\tilde x_i\in H\oplus H$ 주어진 $\tilde x_i = \pmatrix{x_i\cr 0}$.
쉬운 계산은 $\tilde E(\tilde x_i)=t_i\tilde B(\tilde x_i)$, 그래서 $\tilde E-t_i\tilde B$주사제가 아닙니다. 분명히 둘 다$\tilde B$ 과 $\tilde E$ 콤팩트하고 자체 결합되어 있습니다. 다음으로 $\tilde E$주사제입니다. 이를 위해$\pmatrix{x\cr y}$ 널 공간에있다 $\tilde E$. 따라서 다음과 같습니다.$E^*(y) = 0$ 과 $E(x)+y=0$. 지원$E^*$ 후자의 정체성은 $$ 0 = E^*E(x)+E^*y=E^*E(x), $$ 그 후 $$ 0 = \langle E^*E(x), x\rangle = \langle E(x), E(x)\rangle = \Vert E(x)\Vert ^2, $$ 이어지는 $E(x)=0$, 그리고 또한 $x=0$, 때문에 $E$주사제입니다. 이것을에 연결$E(x)+y=0$, 마침내 제공 $y=0$,뿐만 아니라.
따라서 쌍 $(\tilde B, \tilde E)$우리가 긍정적 인 대답을한다고 가정하는 원래 질문에 대한 반례를 제공합니다. 따라서 우리는 모순에 이르렀고 그 진술을 증명했습니다.
편집 (2) : 콤팩트 한 히 모스도 제거 할 수 있습니다 !! 그 이유는 다음과 같습니다. (간단하지 않은) 경계 연산자$B$ 과 $E$,와 함께 $E$ 주입, 반례를 산출합니다. 즉, 셀 수없는 하위 집합을 찾을 수 있습니다. $\{t_i\}_{i\in I}\subseteq [0,1]$ 그런 $E-t_iB$ 모두에게 주사가 아니다 $i$.
분리 가능한 모든 힐베르트 공간은 주입 형 컴팩트 연산자 (예 : 대각선 항목이있는 대각선 연산자)를 허용합니다. $1,1/2,1/3,\ldots $ 의 위에 $l^2$) 그러니 $K$ 그런 운영자가 되십시오 $H$. 그럼 분명히$KE$ 주사이지만 $$ KE-t_iKB = K(E-t_iB) $$아니다. 따라서 한 쌍의 컴팩트 연산자$(KB, KE)$ EDIT (1)에서와 같은 반례를 제공하며 원래 질문에 대한 반례로 만들 수 있습니다.
편집 (3) : 이 게시물 에서 편집 (2)의 상황에 대한 반례를 찾을 수 있으므로 질문은 마침내 NEGATIVE로 해결됩니다 !!
좀 더 구체적으로 말하자면 $E$ ID 연산자로 간주되며 $B$ 후진 시프트 $t$ 0이 아닌 사람은 $E-tB$ 주사제 $t^{-1}E-B$ 이다).