시그마-대수에 시그마-대수를 장착하는 표준 방법이 있습니까?

Question

가정 $(X, \mathcal X)$측정 가능한 공간입니다. 값을 취하는 측정 가능한 함수에 대해 말하고 싶습니다.$\mathcal X$,하지만 그렇게하려면 $\mathcal X$ 시그마 대수를 갖추고 있어야합니다.

표준 장비 방법이 있습니까? $\mathcal X$ 시그마 대수로 $\mathcal F_\mathcal X$ 측정 가능한 함수에 대해 이야기 할 수 있도록 $(X, \mathcal X)$ ...에 $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?

나에게 떠오른 몇 가지 아이디어 :

(1) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$. 그러나 나는 이것이 보완 아래에 닫혀있는 것을 보지 못합니다.

(2) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$. 그러나 나는 이것이 셀 수있는 노조에 의해 폐쇄되는 것을 보지 못했습니다.

Answer 1

내가 아는 한, 이러한 측정 가능한 구조를 구성하는 표준 접근 방식은 없습니다.

우리는 "비결정론"으로 마르코프 의사 결정 과정 (컴퓨터 과학의 관점에서 볼 수 있음)을 일반화하는 일부 작업에 이와 같은 것이 필요했습니다. arXiv ( DOI ) 에서 참조를 확인할 수 있습니다 .

우리를 위해 일한 정의는 $\mathcal{X}$ 에있는 경우 측정 가능 $\sigma$-대수학 $H(\mathcal{X})$ 세트에 의해 생성 $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, 어디 $\xi$ 범위 이상 $\mathcal{X}$. 이것은 대부분 위상 공간의 닫힌 하위 집합의 측정 가능한 초 공간 구성에 의해 동기가 부여됩니다.

실제로 일부 적절한 하위 집합으로 제한 $\mathcal{X}$ 결과가 더 현명 해 보입니다. $\sigma$-대수는 거대하다 : 정확하게 기억하면 한 번 $X$ 무한하고 $\mathcal{X}$ 포인트를 분리 한 다음 $H(\mathcal{X})$ 셀 수없이 생성 될 수 없습니다.