시리즈에 대한 균일 한 수렴 증명

Nov 14 2020

허락하다 $a_n$ 경향이있는 시퀀스 $0$. 나는 그것을 증명하고 싶다$$\sum_{n=1}^{\infty}a_nx\left(\frac{\sin(nx)}{nx}\right)^2$$ 모두를 위해 균일하게 수렴 $x \ne 0$. 부분 별 요약을 사용하는 것이 여기서 도움이 될 수 있다고 생각했지만 더 이상 진행하는 방법을 모르겠습니다. 당신은 무엇을 제안합니까?

여기에 비슷한 질문이 있습니다. $a_n$ 대체된다 $1$. 이 경우 시리즈가 균일하게 수렴하지 않는 것이 입증되었습니다.

답변

2 ParesseuxNguyen Nov 14 2020 at 23:19

귀하의 질문은 다음과 같은 시리즈 불평등에서 비롯됩니다. $0 <x$, $$ 0\le \sum_{n=1}^{\infty} x \left( \dfrac{ \sin (nx)}{nx} \right)^2 \le 3$$ 그로부터 유니폼 수렴을 묶을 수 있습니다. $2\sup_{k \ge n} |a_k|$

이 ineq는 매우 느슨하므로 이제 무엇을할지 결정하는 것은 귀하의 선택에 달려 있습니다. 이에 대한 명시 적 공식을 찾거나 다음과 같이 평가할 수 있습니다
. 위의 ineq에 대한 증명
If$x \ge 1$, 불평등은 간단합니다.
그런 다음$0<x<1$, 우리는 양의 정수를 찾을 수 있습니다 $N_x \ge 2$, 그런 $$N_x\ge \dfrac{1}{x} \ge N_x-1$$ 그때까지 다음 사항을 관찰 할 수 있습니다. $$ \sum = \sum_{n=1}^{N_x} x \left( \dfrac{ \sin (nx)}{nx} \right)^2 +\sum_{n=N_x+1}^{\infty} x \left( \dfrac{ \sin (nx)}{nx} \right)^2 \le (N_x x ) + \dfrac{1}{x}\left( \sum_{n \ge N_x+1} \frac{1}{n^2} \right) \le \frac{N_x}{N_x-1} +N_x\dfrac{1}{N_x}\le 3$$ 끝난.