시리즈의 합계를 찾으십시오. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Aug 17 2020

시리즈 이론에 문제가 있습니다. 구체적인 질문은 다음과 같습니다. \ begin {equation} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!} \ end {equation} 내 아이디어는 다음과 같습니다. :

이후 $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$, \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2^nn!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{x^2}{2})^n}{n!}\\ &=e^{\frac{x^2}{2}} \end{align} 하지만 답은 코쉬 $x$. 주요 아이디어는$e^x$$e^{–x}$. 그런 다음 함께 추가하십시오. 그러나 나는 여전히 내가 뭘 잘못했는지 이해하지 못한다.

누구든지 나를 도울 수 있습니까? 감사합니다.

답변

3 J.W.Tanner Aug 17 2020 at 11:51

네가 잘못한 건 변하고 있었어 $(2n)!$ ...에 $2^nn!$.

당신이 맞았어요 $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}$,

그래서 $\cosh x = \dfrac{e^x+e^{-x}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\left(1+(-1)^n\right) }2$.

$\dfrac{1+(-1)^n}2$ 이다 $0$ 언제 $n$ 이상하고 $1$ 언제 $n$ 짝수이므로 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} . $

2 Alearner Aug 17 2020 at 11:59

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 \cdot x^{2n}}{(2n)!} -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^{n}}{(n)!} $$ $$ = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} $$ $$= cosh(x) $$