시리즈의 수렴을 결정합니다.
시리즈는 다음과 같습니다. $$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}{(n + (n + n^2)^2)^2}$$ 이 시리즈를 결정하는 데 사용하는 방법은 다음 시퀀스를 구성하는 비교 테스트입니다. $$ a_n = \frac{\sqrt{3n}}{n^8}$$위의 시리즈가 수렴한다고 결정하기 위해 각 항이 위의 시리즈의 항보다 큰 수렴 시리즈를 형성합니다. 그러나 나는 내가 옳은지 아닌지 모르겠다. 따라서 내가 틀렸다면 올바르게 수행하는 방법을 알려주십시오. 또는 내가 맞다면 저에게 확인하거나 논의를 위해 위 시리즈의 수렴을 결정하는 대체 방법을 제공하십시오. 감사.
답변
솔직히 일부 테스트를 사용하라는 명시적인 지시가없는 한 이러한 종류의 시리즈 는 비교 테스트 (CT) 대신 한계 비교 테스트 (LCT) 측면에서 생각하는 것을 선호합니다 .
LCT의 일반적인 진술은 다음과 같습니다. $\{ a_n \}$ 과 $\{ b_n\}$ 시퀀스는 $a_n \ge 0$, $b_n > 0$ 모든 $n$. 만약$\lim_{n\to +\infty} a_n/b_n$ 존재하고 0이 아닌 경우 $\sum a_n$ 과 $\sum b_n$ 함께 수렴하거나 함께 갈라집니다.
LCT는 불평등의 방향 (성 가실 수있는 특정 불평등을 확인해야하는 CT와 달리)에 대해 덜 신경 쓰고, 무증상에 대해 더 많이 신경을 씁니다. 적절한 것을 찾는 것도$b_n$비교 포인트로 사용 하시겠습니까? 일반적인 아이디어는 분자와 분모에서 가장 지배적 인 항 (즉, 무한대로 빠르게 폭발하는 항)을 보는 것입니다.
귀하의 예에서 분자의 지배적 인 용어는 $\sqrt{n}$, 분모의 지배적 인 용어는 $n^8$. 이것은 우리가$b_n = \sqrt{n}/n^8 = n^{-15/2}$, 실제로 여기에서 잘 작동합니다. 우리는$\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = 1$, 그리고 우리는 $\sum b_n$ 수렴 $p$-테스트. 따라서 원래 시리즈도 마찬가지입니다.
이 방법은 직접 비교 테스트 라는 고유 이름을 가지며 다음과 같이 설명합니다.
시리즈 인 경우 $\sum b_n$ 수렴하고 $0 \leqslant a_n \leqslant b_n$ 충분히 큰 $ N \in \mathbb{N}, n> N$, 다음 $\sum a_n$ 또한 수렴합니다.
보류 $\sum a_n \leqslant \sum b_n$ 비교가 $\forall n \in \mathbb{N}$.
만약 $\sum a_n$ 갈라진 다음 $\sum b_n$ 발산합니다.
책에서 : Murray H. Protter, Charles B. Jr. Morrey-Intermediate Calculus-Springer (2012)-105 쪽, 정리 9.
귀하의 솔루션은 괜찮지 만 약간 불안해합니다. 테스트가 작동하는 이유를 보여 드리겠습니다. 시리즈 $\sum_{k= 1}^\infty a_k$정의에 따라 부분 합계의 시퀀스 한계를 나타냅니다. $\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$, for $s_n:=\sum_{k=1}^na_k$.
각각 $a_k$ 양수이면 시퀀스 $\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$는 엄격하게 증가하는 양의 실수 시퀀스이므로 제한된 경우에만 수렴하는 것으로 표시 할 수 있습니다 .
만약 $a_k:=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}/(k+(k+k^2)^2)^2$ 그러면 쉽게 볼 수 있습니다. $0\leqslant a_k\leqslant k^{-2}$ 각각 $k\in \mathbb N $, 등
$$ 0\leqslant s_n\leqslant \sum_{k=1}^n k^{-2}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ and }\quad \sum_{k=1}^n k^{-2}\leqslant \sum_{k=1}^\infty k^{-2}=\frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ therefore }\quad 0\leqslant s_n\leqslant \frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N $$
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