시리즈의 수렴 확인 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left (n!\right )^2}{\left (2n+1\right )!}4^n}$

Question

다음 시리즈가 수렴하는지 확인하고 싶습니다.

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left (n!\right )^2}{\left (2n+1\right )!}4^n}$

여기서 상한을 찾아 비교 테스트를 적용해야한다고 생각합니다. 그러나 나는 우리가 취할 수있는 경계를 정말로 가지고 있지 않습니다. 힌트를 주시겠습니까?

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}$

다음과 같은 형식의 제품인 용어가 있습니다. $\frac{2i-1}{2i}=1-\frac{1}{2i}$. 비교 테스트를 적용하려면 상한을 찾아야합니다. 그것을 유지합니까$1-\frac{1}{2i}\leq \frac{1}{2}$ 그래서 $$\prod_{i=1}^n\left (1-\frac{1}{2i}\right )\leq \prod_{i=1}^n \frac{1}{2}=\frac{1}{2^n}$$ 그런 다음 우리가 얻은 합계를 $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}\leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n}=1$$ 따라서 비교 테스트에서 원래 합계도 수렴해야합니다.

모든 것이 맞습니까?

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n\cdot (2n+2)}}$

다음과 같은 형식의 제품인 용어가 있습니다. $\frac{2i-1}{2i+2}$. 이 경우 어떤 상한선을 사용할 수 있습니까?

Answer 1

몇 가지 힌트 :

먼저 Raabe의 테스트를 사용할 수 있습니다.$$n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right) = \frac{n}{2(n+1)}$$

두 번째 $$\frac{1}{2\sqrt{n}} \leqslant \frac{1}{2} \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2n}}\quad (1)$$

증명:

에 대한 $n=1$ 우리는 $\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}} $, 그래서 가정합시다 $n \geqslant 2$. 우리는$$\frac{3}{4}>\frac{2}{3}, \frac{5}{6}>\frac{4}{5},\frac{7}{8}>\frac{6}{7}, \cdots, \frac{2n-1}{2n}>\frac{2n-2}{2n-1}$$ 이 부등식이주는 곱셈 $$\frac{3}{4} \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} > \frac{2}{3} \frac{4}{5} \cdots \frac{2n-2}{2n-1}$$ 이제 왼쪽에서 왼쪽과 오른쪽을 곱하면 $$\left( \frac{3}{4} \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} \right)^2 > \frac{1}{n} $$ (1)의 왼쪽입니다.

Answer 2

Stirling 근사는 다음을 의미합니다. $\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{n\pi}}$, 그래서 $\frac{n!^24^n}{(2n+1)!}\sim\frac{\sqrt{\pi}/2}{\sqrt{n}}$, 그래서 시리즈가 갈라집니다.