신뢰 구간의 최소 길이를 만드는 값은 무엇입니까?

Aug 18 2020

랜덤 변수 $X$ 따르다 $$f(x|\theta)=\frac{1}{2}e^{-|x-\theta|} \quad -\infty<x<\infty$$

나는 신뢰 구간을 고려한다. $\theta$, $S(X)=[X-b,X+c]$.

신뢰 수준을 설정하면 $1-\alpha$, 값은 무엇입니까 $b$$c$ 신뢰 구간의 최소 길이를 $d=b+c$?


내가 찾은 것

이 전에 질문은 확률에 대해 물었습니다. $${\theta-c \leq X \leq \theta +b}$$

그리고 나는 쉽게 답을 얻었다 $$\int_{\theta -c }^{\theta+b } f(x|\theta) dx=\frac{1}{2}(e^b-e^c)$$

신뢰 구간이 필요하다면 $/theta$, 설정해야합니다. $$P(X-b\leq\theta\leq X+c)>1-\alpha$$ 그러나 나는 PDF를 모른다 $\theta$. 이것이 내가 갇힌 곳입니다.

누구든지 나를 도울 수 있습니까?

답변

1 user295357 Sep 03 2020 at 19:44

제공 한 pdf는 주어진 θ에서 X의 조건부 pdf이므로 주어진 θ에서 X의 신뢰 구간 (CI)을 유도 할 수 있지만 θ의 CI는 유도 할 수 없습니다.

반대로 f (θ | x)의 pdf가 같은 식으로 주어지면 θ의 최단 CI는 S (x) = [x + ln (alfa) x-ln (alfa)]로 유도 될 수 있습니다.

1 Ben Sep 04 2020 at 07:13

확률 결과에 오류가 있습니다 (무제한이라는 사실로 명확해야 함). 간격 사용$\text{CI}(X) = [X-b, X+c]$ 커버리지 확률이 있어야합니다.

$$\begin{align} \mathbb{P}(\theta \in \text{CI}(X)) &= \mathbb{P}(X-b \leqslant \theta \leqslant X+c) \\[6pt] &= \mathbb{P}(\theta-c \leqslant X \leqslant \theta+b) \\[6pt] &= \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} \text{Laplace}(x|\theta,1) \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} e^{-|x-\theta|} \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \ \int \limits_{\theta}^{\theta+b} e^{-x+\theta} \ dx - \int \limits_{\theta}^{\theta+c} e^{-x+\theta} \ dx \Bigg] \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ (1-e^{-b}) - (1-e^{-c}) \Bigg] \\[6pt] &= \frac{e^{-c} - e^{-b}}{2}. \\[6pt] \end{align}$$

(당신의 결과와는 달리 이것은 $b \rightarrow \infty$ 또는 $c \rightarrow \infty$.) 따라서이 형식의 최적 신뢰 구간을 찾으려면 다음 최적화 문제를 해결해야합니다.

$$\text{Minimise } b+c \quad \text{ subject to } \quad e^{-c} - e^{-b} = 2(1-\alpha).$$

약간의 작업을 통해 다음과 같은 경우에 최적화가 발생 함을 보여줄 수 있습니다. $b=c$, 그래서 optmial 신뢰 구간은 $x$. 라플라스 분포가 평균 모수를 중심으로 대칭이라는 점을 감안할 때 이것은 놀라운 일이 아닙니다.$\theta$.