Spivak Calculus의 Riemann Sums에 대한 증명 단계.

Question

나는 Spivak 's Calculus (2008)-pg 279 에서 증명을 작업하고있었습니다 . 다음은 문제가있는 증거 부분의 스크린 샷입니다.

제 질문은 1,2,3 단계를 올바르게 결합하는 것입니다. 나는 도착하고 싶다

$$\bigg|\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx \bigg| < \epsilon \\ \Rightarrow\ -\epsilon < \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx < \epsilon$$

방정식 2를 훑어 보면 다음과 같은 형태를 얻을 수 있습니다.

$$ 0 \leq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \leq U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$$

같은 일이 발생합니다. $\int_{a}^{b}f(x) dx$. 이제이 아이디어를 사용하여 다음과 같은 형식을 얻습니다.

$$\epsilon > U(f,P) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq ?? $$

여기 내 문제가 있습니다. 확실히 말할 수 없습니다. $\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq 0$. 내가 가진 어떤 것도 그러한 것을 암시 할 수 없으며 이로 인해 결론을 내릴 수 없습니다.$\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) > -\epsilon$. 이것이 증명의이 부분을 마칠 수있게 해줄 것입니다. 경험상 나는 그것이 내가 놓친 사소한 대수적인 것이라는 것을 알고 있지만, 나는 정신적으로 피곤하고 그것을 보지 못하는 것 같습니다. 약간의 도움이 좋을 것입니다.

Answer 1

힌트 : 방정식 곱하기$(3)$ 으로 $-1$ 방정식에 추가 $(2)$ 얻으려면 :
$-(U(f,p) -L(f,P))\leq -\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) \leq U(f,P) - L(f,P) $
즉, 우리는 $-\epsilon\lt y\lt \epsilon$, 언제 $|y|\lt \epsilon$

Answer 2

$(2)$ 과 $(3)$ 합과 적분이 모두 사이에 있음을 의미 $L(f,P)$ 과 $U(f,P)$ 그래서 그들 사이의 절대적인 차이는 $U(f,P)-L(f,P)$ 그리고 $(1)$ 이 후자의 표현은 $\epsilon.$