쌍곡 방정식의 규칙 성
저의 PDE 수업에서 우리는 Evans PDE 책을 따르고 있습니다. 우리는 쌍곡선 방정식에 대한 약한 해의 규칙성에 대해 읽었습니다. 증명 정리 5 섹션 7.2.3에서 더 구체적입니다. 저자는 다음과 같이 말합니다.
\ begin {equation} \ frac {d} {dt} (\ | \ tilde {u} _m ^ { '} \ | _ {L ^ 2 (U)} ^ 2 + A [\ tilde {u} _m, \ 물결표 {u} _m]) \ leq C (\ | \ tilde {u} _m ^ { '} \ | _ {L ^ 2 (U)} ^ 2 + A [\ tilde {u} _m, \ tilde {u } _m] + \ | f ^ { '} \ | _ {L ^ {2} (U)} ^ 2) \ end {equation} 여기서$\tilde{u}_m=u_m^{'}$, 또한 추정치 \ begin {equation} \ | u_m \ | _ {H ^ 2 (U)} ^ 2 \ leq C (\ | f \ | _ {L ^ 2 (U)} ^ 2 + \ | u_m ^ { ''} \ | _ {L ^ 2 (U)} ^ 2+ \ | u_m \ | _ {L ^ 2 (U)} ^ 2) \ end {equation} Evans는이 마지막 부등식을 첫 번째 그리고 Gronwall의 Inequality를 적용하여 \ begin {equation} \ sup_ {0 \ leq t \ leq T} (\ | u_m (t) \ | _ {H ^ 2 (U)} ^ 2+ \ | u_m ^ { ' } (t) \ | _ {H ^ 1 (U)} ^ 2+ \ | u_m ^ { ''} (t) \ | _ {L ^ 2 (U)} ^ 2) \ leq C (\ | f \ | _ {H ^ 1 (0, T; L ^ 2 (U))} ^ 2+ \ | g \ | _ {H ^ 2 (U)} ^ 2+ \ | h \ | _ {H ^ 1 (U)} ^ 2) \ end {equation} 내 문제는이 마지막 표현이 어떻게 얻어지는 지 이해가 안된다는 것입니다. 누구든지 도와 줄 수 있습니까?
편집 : 우리는 PDE \ begin {equation} \ begin {array} [rcl] fu_ {tt} + Lu & = f & \ text {in} U_ {T}, \\ & u = 0 & \ 의 약한 솔루션의 규칙 성을 찾고 있습니다 . text {in} \ partial U \ times [0, T], \\ & u (0) = g & \ text {in} U \ times \ {t = 0 \} \\ & u ^ { '} (0) = h & \ text {in} U \ times \ {t = 0 \} \\ \ end {array} \ end {equation} 우리는$f\in L^2(0,T;L^(U))$, $g\in H_0^1(U)$ 과 $h\in L^2(U)$ 이 PDE의 약한 솔루션이 있습니다. 규칙 성을 위해 우리는 $f,g$ 과 $h$ 각각 자신의 공간에 $f^{'}\in L^2(0,T;L^2)$, $g\in H^2(U)$ 과 $h\in H_0^1(U)$. 이것이 내 질문에 대해 명확히하기를 바랍니다.
답변
나는 아래 첨자를 떨어 뜨리고있다 $m$ 근사 솔루션을 나타내는 데 사용됩니다.
첫 번째 부등식 (왼쪽에 시간 미분)은 다음에 의해 충족되는 pde를 고려할 때 발생합니다. $\tilde u = u'$일반적인 에너지 추정치를 적용합니다. 추정치를 얻으려면 여기에 Gronwall 인수를 적용하십시오.$$ \sup_t \left(\|\tilde u'(t)\|^2_{L^2} + A(\tilde u(t), \tilde u(t)) \right) \\ \quad \le C\left( \|\tilde u'(0)\|^2_{L^2} + A(\tilde u(0), \tilde u(0)) + \int_0^T \|f'\|^2_{L^2} \right) $$ 당신은 pde에서 읽었습니다. $\tilde u$ 뭐 $\tilde u(0)$ 과 $\tilde u'(0)$있어야합니다. 이것은 다음에 대한 추정치를 의미합니다.$$ \sup_t \left(\| u_{tt}(t)\|_{L^2} + \| u_t(t)\|_{H^1} \right) $$ 형태 이후 $A$ (본질적으로) 강압적입니다.
두 번째 부등식은 pde 자체에 연산자에 대한 타원 규칙 성 이론을 더한 것입니다. $L$. 그냥 써$Lu = -u_{tt} + f$ 다음과 같은 추정치를 사용하십시오. $$ \|u\|_{H^2} \le C(\|Lu\|_{L^2} + \|u\|_{L^2}) $$ 이 책의 이전 장에 분명히 나와 있습니다.
에 대한 견적이 이미 있으므로 $\|u_{tt}\|_{L^2}$, 이제 원하는 추정치를 도출 할 수 있습니다. 규범이 어디에 있는지 추적하십시오.$g$ 과 $h$ 견적을 입력하십시오.