쌍둥이 소수 집합을 다른 집합과 비교합니다. 최대 값과 최소값이있는 이유는 무엇입니까?
나는 2 세트를 받았다 : 첫 번째는 쌍둥이 쌍의 첫 번째 소수의 연속 목록이다. 두 번째는 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ...와 같은 연속 된 숫자 목록입니다.
그런 다음 두 번째 목록의 숫자를 첫 번째 목록의 숫자로 나누어 목록을 비교했는데, 안정적인 분포율이 발생합니다 (아래 그림 참조).
데이터를 분석하면 (아래 그림 참조) 다음을 알 수 있습니다.
열 E의 변동이 너무 높으면 (일반적으로 1.1 이상) "다음"쌍이 "현재 :"쌍보다 작아야하므로 오류가 발생합니다.
또한 E 열의 변동이 너무 낮지 않다는 것을 알 수 있습니다 (아마도 처음 몇 백 번 이후 0.99 이상).
C 열을 제곱 1,4,9,16,… 또는 임의의 2 차 다항식으로 바꾸면 동일한 현상이 발생합니다.
C 열을 1과 같은 상수로 바꿀 때 최대 값은 1을 전달하지 않습니다 (분명히). 그러나 처음 몇 백 후에 최소값은 다시 0.99보다 작지 않을 것입니다.
누구든지 이것이 왜 그럴 수 있는지에 대한 이론적 설명을 제공 할 수 있습니까?.
C 열이있는 처음 100,000 개의 목록 : 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 ....
C 열이있는 처음 100,000 목록 : 사각형 1,4,9,16,25 ...
C 열이있는 처음 100,000 개의 목록 : 상수 = 1
감사.
답변
이 복잡한 계산의 동기는 무엇입니까?
허락하다 $B_2=3,B_3=5,\cdots $"쌍둥이 프라임 쌍의 첫 번째 멤버"시퀀스가됩니다. 어떤 이유로 인덱스에서 시작$2.$ 우리는 이것이 무한 시퀀스라는 것을 모르지만 $B_n \approx k n (\ln n)^2$ 일정한 $k.$ 에 대한 추측이 있습니다 $k$하지만 여기서는 그다지 중요하지 않습니다. 그래서 그럴듯한 설명을 위해 우리는$\frac{B_n}{B_{n-1}}$ 확실히보다 크다 $1$꾸준한 평균 속도로 접근합니다. 아마도$1<\frac{B_n}{B_{n-1}}<\frac{n+8}{n-1}.$ 또는 특히 무모하게 $\frac{B_n}{B_{n-1}} \approx \frac{n}{n-1}.$
숫자들 $E_n$ 당신은 정확히 $\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}$ 그래서 왜 그들이 때때로 위에 있는지에 대한 설명이 있습니다. $1$ 때로는 아래에 수렴하여 $1.$
Digression : 처음 몇 쌍 이후 시퀀스의 모든 구성원은 $11,17$ 또는 $29 \bmod 30.$아마도 이것은 약간의 덩어리를 유발할 것입니다. 모르겠어요. 오버인지 언더인지 확인할 수 있습니다.$1$ 행동은 합동 클래스와 관련이 있습니다. $\bmod 30$ 존재 $11$ vs $17$ 또는 $29.$ 그렇다면이 동작이 계속되거나 사라지는 것처럼 보입니까?
순서 $C_1=1,C_2=3,\cdots $ 삼각수의 $C_n=\frac{n(n+1)}2$ 그래서 $\frac{C_{n-1}}{C_{n}}=\frac{n-1}{n+1}$ 바로 그거죠.
당신은 정의 $D_n=\frac{C_n}{B_n}$ 그런 다음 $n \ge 3,$ $$E_n=\frac{D_n}{D_{n-1}}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{C_{n-1}}{C_n}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}\approx\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n+1} \rightarrow 1$$
쌍둥이 소수 대신 소수를 사용했다면 $p_n \approx n\ln n,$결과는 거의 동일해야합니다. 삼각형 숫자 대신 사각형을 사용했다면$\frac{(n-1)^2}{n^2}\approx \frac{n-2}{n}$ 매우 가까운 $\frac{n-1}{n+1}$
이전 열의 연속 항을 추가하거나 비율을 취하는 추가 단계는 하나로 수렴하거나 다음과 같이 증가하는 시퀀스를 제공합니다. $n.$