수치 적 불평등에 대한 더 나은 증거 $e^x$

Question

불평등은

$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$

나는 그것을 3 가지 사례로 나누어 증명했다. $-3<z<0$, $z=0$ 과 $0<z<3$.

에 대한 $z=0$, 양쪽이 같습니다.

다른 두 가지 경우는 미적분으로 수행됩니다. 밝히다$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$ 다음 교체 $|x|$ 으로 $x$ 또는 $-x$따라서. 그런 다음 파생 상품을 확인하십시오.

하지만 제 생각에는 그것은 일종의 무차별적인 힘이기 때문에 그것을 보여줄 더 빠른 (스마트 한) 방법이 있는지 궁금합니다.

Answer 1

다음과 같은 경우 $|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}