수학의 패러다임 변화 [닫기]
물리학에서는 분야를 근본적으로 변화시킨 몇 가지 분명한 혁명이나 패러다임 변화가있었습니다. 한 가지 예는 코페르니쿠스 혁명과 프톨레마이오스에서 태양 중심적 관점으로의 포괄적 인 전환입니다.
수학이 공리에서 작동한다는 점을 감안할 때 잘못된 가정이 분야의 표준에 스며 들지 않을 것이라고 생각했습니다. 또한 수학 교육을받는 동안 (물리학 자로서) 수학이 그리스인에서 오늘날까지 계속해서 진화하여 항상 오래된 지식 위에 새로운 지식을 추가한다는 느낌을 받았습니다.
따라서 내 질문은 이것이 잘못되었고 수학 역사에서 이전 결과에 대한 특정 패러다임 변화 또는 급진적 재 해석이 있었는지 아니면 지식의 지속적인 성장 이었습니까?
추가
수학의 철학적 변화를 요구하는 이 질문이 이미 있었습니다 . 그러나 나는 수학적 지식의 몸이 선형 적으로 성장하는지 또는 특정 지점에서 불연속 적인지 이해하려고 노력했기 때문에 이것이 이것과 다르다고 생각했습니다.
답변
나는 우리가 죽은 사람을 묻어 버리는 "혁명"을 "패러다임 전환"(게임이 진행되고 이전 스타일로 수행 된 작업이 말소되지 않고 더 이상 추구하는 것이 흥미 롭거나 중요해 보이지 않음)과 구별 할 수 있다고 생각합니다.
19 세기에 무한소가없는 분석의 재 작업이 거짓 / 일관성을 대체 한 혁명이라고 생각했던 적이 있다고 생각합니다. 그리고 몇 년 후). 집합 이론의 발전은 이전에는 거짓 / 불일치 만있을 수 있다고 생각했던 일관된 이론 ( "완전한 무한대")을 가질 수 있다는 것을 보여주는 혁명이었습니다.
그러나 이러한 종류의 경우는 확실히 예외입니다 (어쨌든 수학에서). 패러다임 전환은 이전에 있었던 일이 잘못되었다고 가정 할 필요가 없습니다 . 오히려 새로운 개념이 도입되고 새로운 문제가 제기 될 수 있으며 새로운 접근 방식이 특히 흥미롭고 보람있는 것으로 간주됩니다. 새로운 모범은 모방되어야 할 패러다임으로 간주되고 문제 해결을 판단하는 기준을 설정하는 것으로 간주됩니다. 예를 들어, 지난 세기의 추상 대수의 발전은 이런 종류의 패러다임 전환의 패러다임 예처럼 보일 것입니다 ...!
수학은 공리 학이 아닙니다. 새로운 분야를 여는 한 가지 방법은 일반적으로 공통점이 있고 새로운 이론을 가리키는 것으로 보이는 사례를 발견하는 것입니다.
예를 들어 상 동성을 보자. 이것은 Eilenberg & Steenrod에 의해 공리 화되었습니다. 그러나 사람들이 Betti 숫자를 발견하지 않았고 Poincare가 상 동성을 발견하지 않았고 Noether가 Betti 숫자가 공리화할 것이 없었을 그룹으로 더 잘 생각되었다고 지적하지 않았습니다.
힐베르트는 자신이 연역적 사고를 분류 하는 기하학과 상상 에서 다소 똑같다고 말하는데, 그것은 그가 과학적 사고의 진정한 형태로 분류하는 귀납적 사고보다 낮은 질서의 공리적 형태에서 비롯된 사고입니다.
개인적으로 저에게 중요한 패러다임 전환은 범주 이론적 사고를 수학에 도입 한 것이 었으며 사고의 연속성을 보여줍니다. 예를 들어 삼각형은 초기에 발견되었습니다. 측면에 방향을 추가하여 벡터 덧셈의 법칙을 얻은 다음 측면을 구부리도록 허용함으로써 범주 이론 화살표로 생각할 수 있습니다. 이것은 또한 드러납니다. 우리는 그것들을 비 유클리드 벡터로 생각할 수 있으며, 두 지점 사이에 고유 한 측지선이있는 길이 공간에서 방향성 측지선을 그러한 벡터로 들어 올릴 수 있습니다.