수직선의 기울기의 곱이 왜 대수적 설명입니까? $-1$? [복제]

Question

Q : 수직선의 기울기의 곱이 왜 간결하고 명확하며 순전히 대수적 설명 입니까?$-1$?

여기에서는 미국 고등학생을 목표로하고 있습니다. 나는 순전히 기하학적 인 설명 (아래)을 가지고 있지만 순전히 대수적인 설명으로 보충하고 싶습니다.

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경사 삼각형 회전 $90^\circ$.

Answer 1

여기 내가 대학 대수 수업에서 사용한 대수 기반 증명입니다. 수직선은 직각으로 만나는 것으로 정의됩니다. 피타고라스와 거리 공식을 알고 있다고 가정합니다.

가능한 기본형은 선의 기울기가 $y$ 1 단위 증가에 대한 증가 $x$그 라인에. 을 고려하면$m = \Delta y / \Delta x$, 언제 $\Delta x = 1$, 우리는 $m = \Delta y / \Delta x = \Delta y / 1 = \Delta y$.

정의 된 경사의 두 개의 수직선이 있다고 가정합니다. $m _1$ 과 $m_2$. 교차점 호출$(x, y)$. 오른쪽으로 단계$\Delta x = 1$단위. 한 줄에 당신은 지점에있을 것입니다$(x+1, y + m_1)$, 다른 한편으로는 $(x + 1, y + m_2)$. 세 점은 직각 삼각형을 형성하며 앞서 언급 한 공식을 사용할 수 있습니다.

삼각형의 변의 길이를 호출 $a, b, c$. 거리 공식에 따라 이러한 길이는 다음과 같습니다.

$a = \sqrt{ 1^2 + m_1 ^2}$

$b = \sqrt{ 1^2 + m_2 ^2}$

$c = \sqrt{(m_1 - m_2)^2}$

그런 다음 피타고라스 공식 (및 이항 제곱 공식)에 의해 다음을 얻습니다.

$a^2 + b^2 = c^2$

$\implies 1^2 + m_1^2 + 1^2 + m_2^2 = (m_1 - m_2)^2$

$\implies m_1^2 + m_2^2 + 2 = m_1^2 - 2 m_1 m_2 + m_2^2$

$\implies 2 = -2 m_1 m_2$

$\implies -1 = m_1 m_2$

이 증명은이 과정의 핵심 주제 인 피타고라스, 거리 및 이항 제곱 공식에 대해 더 많은 연습과 경험을 얻을 수있는 추가 기회를 제공하기 때문에이 증명을 매우 좋아합니다. (아마도 여기서 아이디어의 핵심은 James의 증명과 동일하지만 더 간단합니까?)

Answer 2

이 학생들은 삼각법을 가지고 있습니까? 그렇다면 단위 원을 중심으로 한 점을 회전하는 공식을 보았을 것입니다.$$ x' = x\cos(\theta) - y\sin(\theta) $$ $$ y' = x\sin(\theta) + y\cos(\theta) $$ 경사면을 생각하면 $m=\frac{y}{x}$ 원산지에 상대적 $\langle0,0\rangle$, 다음 $x$ 과 $y$원점을 중심으로 회전 할 수있는 점으로 생각할 수 있습니다. 이제 수직선은 회전으로 생각할 수 있습니다.$\theta=90$ 또는 $\theta=-90$도. 두 경우 모두$\cos(\theta)$ 될거야 $0$. 이제 위의 공식은 다음과 같습니다.$$ x' = -y\sin(\theta) $$ $$ y' = x\sin(\theta) $$ 새 선의 기울기를 계산합니다. $$ m' = \frac{y'}{x'} $$ $$ m' = \frac{x\sin(\theta)}{-y\sin(\theta)} $$ $$ m' = \frac{x}{-y} $$ 이제 슬로프를 곱하십시오. $$ mm' $$ $$ \frac{y}{x}\frac{x}{-y} $$ $$ -1 $$나는 수학자가 아니므로 이것은 증거로 날아 가지 않을 수도 있습니다. 그러나 이러한 유형의 삼각법은 비디오 게임과 같은 컴퓨터 그래픽 응용 프로그램의 기본이므로 학생들을 참여시키는 데 도움이 될 수있는 정말 멋진 응용 프로그램이 있습니다.

Answer 3

" $90^\circ$ ", 삼각법에 의해 동기 부여 된 것을 제안하겠습니다.

두 선 사이의 상대 기울기를 다음과 같이 정의합니다. $$m_{rel}=\frac{m_2-m_1}{1+m_2m_1},$$ 삼각 정체성에서 $$\tan(\theta_2-\theta_1)=\frac{\tan\theta_2-\tan\theta_1}{1+\tan\theta_2\tan\theta_1}.$$

선이 평행 한 경우 [즉 $\theta_2-\theta_1=0^\circ$], 다음 $m_{rel}=0$ 암시 $m_2=m_1$.

선이 수직 인 경우 [예 : $\theta_2-\theta_1=90^\circ$], 다음 $\displaystyle\frac{1}{m_{rel}}=0$ 암시 $m_2m_1=-1$.

(특수 상대성 이론에 대한 유사한 주장은 기울기의 곱이 시간과 같은 축에 직교하는 공간 형 축 Minkowski에 대해 1과 같다는 것을 의미합니다.)

Answer 4

두 줄을 정의 합시다$L_1: y=m_1x+b_1$ 과 $L_2: y = m_2x+b_2$교차점이 존재하고 직각을 형성하는 경우 수직 이어야 합니다. 분명히$m_1 \neq m_2$. 허락하다$P=(x_o,y_o)$교차점이어야합니다. 그때,$$ m_1x_o+b_1 = y_o = m_2x_o+b_2 $$ 관찰 $b_2-b_1 = (m_1-m_2)x_o$이것은 나중에 중요 할 것입니다. 또한$x_2 > x_o$ 및 통지 $Q = (x_2, m_1x_2+b_1) \in L_1$ 과 $R =(x_2, m_2x_2+b_2) \in L_2$. 라인 세그먼트$PQ$ 과 $PR$ 빗변으로 직각 삼각형의 인접한 다리를 형성 $QR$ 따라서 Pythogorean Theorem에 의해 우리는 : $$ \| PQ \|^2+\|PR \|^2 = \| QR \|^2 $$ 주의, \begin{align} \| PQ \| &= \sqrt{(x_2-x_o)^2+(m_1x_2+b_1-y_o)^2} \\ &= \sqrt{(x_2-x_o)^2+(m_1x_2+b_1-m_1x_o-b_1)^2} \\ &= \sqrt{(x_2-x_o)^2+m_1^2(x_2-x_o)^2} \\ &= |x_2-x_o|\sqrt{1+m_1^2} \\ \end{align} 또한, \begin{align} \| PR \| &= \sqrt{(x_2-x_o)^2+(m_2x_2+b_2-y_o)^2} \\ &= \sqrt{(x_2-x_o)^2+(m_2x_2+b_2-m_2x_o-b_2)^2} \\ &= \sqrt{(x_2-x_o)^2+m_2^2(x_2-x_o)^2} \\ &= |x_2-x_o|\sqrt{1+m_2^2} \\ \end{align} 마지막으로 $b_2-b_1 = (m_1-m_2)x_o$ 그리고 계산 \begin{align} \| QR \| &= \sqrt{(x_2-x_2)^2+(m_2x_2+b_2-(m_1x_2+b_1))^2} \\ &= |m_2x_2+b_2-m_1x_2-b_1| \\ &= |(m_2-m_1)x_2+(m_1-m_2)x_o| \\ &= |x_2-x_o||m_2-m_1| \end{align} 따라서 피타고라스 정리에 의해 $$ |x_2-x_o|^2(1+m_1^2)+|x_2-x_o|^2(1+m_2^2) =|x_2-x_o|^2|m_2-m_1|^2$$ 따라서 $|x_2-x_o| \neq 0$ 과 $|a|^2 = a^2$ 우리는 찾는다 $$ 2+m_1^2+m_2^2 = (m_2-m_1)^2 = m_2^2-2m_1m_2+m_1^2 $$ 따라서, $$ \boxed{1 = -m_1m_2}. $$