$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b (x-[x]-\frac{1}{2})\phi '(x)\, dx+(a-[a]-\frac{1}{2})\phi (a)-(b-[b]-\frac{1}{2})\phi (b)$
Titchmarsh의 The Theory of the Riemann Zeta-Function , page 13 에서 발췌 :
허락하다 $\phi (x)$ 구간에서 연속 도함수를 갖는 함수 $[a,b]$. 그런 다음$[x]$ 초과하지 않는 가장 큰 정수를 나타냅니다. $x$, $$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b \left(x-[x]-\frac{1}{2}\right)\phi '(x)\, dx+\left(a-[a]-\frac{1}{2}\right)\phi (a)-\left(b-[b]-\frac{1}{2}\right)\phi (b).$$
책에는 이것에 대한 증거가 없으며이 정리의 '이름'이 무엇인지 모르겠습니다. 이 정리를 이해하고 싶지만 어디서부터 시작해야할지 모르겠습니다.
답변
허락하다 $\rho(t)=\frac12 -(t-[t])=\frac{1}{2} - \{t\}$, 어디 $\{t\}$ 의 소수 부분입니다 $t$.
증거 스케치 :
세부 사항은 당신에게 맡깁니다. 이 정체성에 접근하는 한 가지 방법이 있습니다.
- 먼저 $\rho$ 이다 $1$-주기적 기능 및 $\rho'(t)=-1$ ...에 대한 $x\in [k,k-1)$, $k\in\mathbb{Z}$. 에 대한$k\leq \alpha<b\leq k+1$, 파트 별 통합을 두 번 사용 (한 번 $u=f(t)$ 과 $dv=\rho'(t)\,dt$; 그리고 다른$u=f'(t)$ 과 $dv=\sigma'(t)\,dt=\rho(t)\,dt$) 얻을
$$ \begin{align} -\int^\beta_\alpha f(t)\,dt &= \int^\beta_\alpha f(t)\rho'(t)\,dt\\ &=\rho(\beta-)f(\beta)-\rho(\alpha)f(\alpha)-\int^\beta_\alpha \rho(t)\,f'(t)\,dt \end{align} $$
이제 정수 간격을 추가 할 수 있습니다. $[k,k+1]\subset(a,b]$ 그리고 잠재적으로 분수 간격에 걸쳐 $(a,[a]+1]$, $[[b],b]$ 원하는 결과를 얻으려면.
편집 : 부분별로 통합하여보다 일반적이고 우아한 증거를 얻을 수 있습니다.
정리 : Let$F$ 과 $G$ 국부적으로 유한 변이의 오른쪽 연속 함수 $I$, 그리고 $\mu_G$, $\mu_F$ 에 의해 유도 된 서명 된 측정 값은 $G$ 과 $F$각기. 그런 다음 간결한 간격에 대해$[a,b]\subset I$, $$ \begin{align} \int_{(a,b]} F(t)\,\mu_G(dt)=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{(a,b]}G(t-)\,\mu_F(dt) \end{align} $$ 어디 $G(t-)=\lim_{s\nearrow t}G(s)$.
OP의 경우
계수 측정 고려 $\mu(dt)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta_{n}$ 그리고 Lebesgue 측정 $\lambda$, 둘 다에 정의 됨 $(\mathbb{R}\mathscr{B}(\mathbb{R}))$. 허락하다$\phi(dt)=(\lambda-\mu)(dt)$. 그것을주의해라$\Phi(t):=\phi((0,t])=t-[t]=\{t\}$.
$$ \begin{align} \sum_{a< n\leq b}f(n)-\int^b_af(t)\,dt &=-\int^b_af(t)\,(\mu(dt)-\lambda(dt))=-\int^b_af(t)\phi(dt) \end{align} $$
위의 정리를 적용하여 $f$ 대신에 $F$ 과 $\Phi$ 대신에 $G$, 우리는 $\mu_f(dt)=f'(t)\,dt$ 과 $\mu_{\Phi}(dt)=\phi(dt)$ 그래서
$$ \begin{align} \int^b_af(t)\phi(dt) &= f(t)\Phi(t)|^b_a -\int^b_a\Phi(t-)\, f'(t)\,dt\\ &=f(b)\{b\}-f(a)\{a\}-\int^b_a\Phi(t)\,f'(t)\,dt\\ &= f(b)(b-[b])-f(a)(a-[a)] -\int^b_a(t-[t])\,f'(t)\,dt \end{align} $$
어디에서 변경 $\Phi(t-)$ ...에 $\Phi(t)$ 사실에서 따른다 $\Phi(t-)=\Phi(t)$ $\lambda$-같이
결론은 덧셈과 뺄셈으로 이어집니다. $\frac12$ 마지막 적분에서.
이것은 Abel-Summation의 글입니다. $$\sum_{a<n\leq b} f(n) = f(b) \sum_{a<n\leq b} 1 - \int_a^b \sum_{a<n\leq t} 1 \cdot f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \left( \lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) - \int_a^b \left( \lfloor t \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \lfloor b \rfloor - f(a) \lfloor a \rfloor + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - t \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \left( a - \lfloor a \rfloor - \frac{1}{2} \right) - f(b) \left( b - \lfloor b \rfloor - \frac{1}{2} \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \, B_1\left( a - \lfloor a \rfloor \right) - f(b) \, B_1\left( b - \lfloor b \rfloor \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b B_1\left( t - \lfloor t \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \, ,$$ 어디 $B_1(x)$첫 번째 Bernoulli 다항식입니다. 앞서 언급했듯이$1/2$-용어가 중복됩니다.
부품별로 연속적으로 통합하여 $\int B_n(x) \, {\rm d}x = \frac{B_{n+1}(x)}{n+1}$, 다음과 같은 경우 Euler-Maclaurin 공식을 얻을 수 있습니다. $a,b$ 정수입니다.