순위의 실수 대칭 행렬 $n-1$ 순위의 부분 행렬을 가짐 $n-1$

Question

허락하다 $A$ 차원의 대칭 실수 행렬 $n \times n$ 순위 $n-1$. 있는 것을 증명하십시오$k \in \{1,2,...n\}$ 삭제시 $k$결과 행렬의 순위가있는 행과 열 $n-1$.

저는 우리가 여기 행렬의 adjugate를 사용해야한다고 생각합니다. $(n-1) \times (n-1)$ 하지만 어떻게 진행해야할지 잘 모르겠습니다.

Answer 1

이것은 일반적으로 matrix congruence 를 사용하여 증명 되지만 예, adjugate matrix를 사용하여 진술을 증명할 수 있습니다.

같이 $A$ 계급이있다 $n-1$, 그것은 adjugate 행렬의 순위가 1입니다. 이후$A$또한 대칭이므로 보조 행렬이어야합니다. 따라서$\operatorname{adj}(A)=\pm vv^T$ 0이 아닌 벡터의 경우 $v$. 그러므로$\operatorname{adj}(A)$0이 아닌 대각선 항목이 있습니다. 의 대각선 항목으로$\operatorname{adj}(A)$ 교장입니다 $(n-1)$-미성년자 $A$, 결과는 다음과 같습니다.

Answer 2

adjugate가 순위라는 사실을 사용하는 또 다른 (약간) 다른 방법이 있습니다. $1$대칭 행렬. 랭크 1 이상이 있으면 존재하지 않습니다.$k$ 의 결정자는 $(k, k)$th minor가 0이 아니면 adjugate matrix의 대각선이됩니다. $A$)는 모두 0입니다.

랭크 1 행렬은 단순히 행이 모두 동일한 중요하지 않은 벡터의 배수 인 행렬이라는 것을 알고 있습니다 (최소 하나의 행은 0이 아닌 배수 임). 가정하십시오$i$일행 $A$0이 아니 었습니다. 그런 다음 일부가 있습니다$j \neq i$ 그런 $A_{ij}$(대각선 요소가 모두 0이라는 가정을 기억하십시오). adjoint가 대칭이므로$A_{ji} \neq 0$. 그러나, 그$j$행의 배수는 $i$제 행 (왜?), 모순. 따라서 순위의 대칭 행렬이있을 수 없습니다.$1$ 대각선 요소가 모두 0이므로 적어도 하나의 요소는 $A$의 대각선 (말하자면 $k$th 요소)는 0이 아니어야합니다. 제거$k$물론 행과 열은 뒤집을 수 있습니다. $(n - 1) \times (n - 1)$ 매트릭스.