순열 그룹에서 Sylow p 하위 그룹의 수를 찾는 간단한 방법입니다. [복제]

Dec 07 2020

알아, $|S_4 |=24 =2^3\cdot3$.

그래서 여기 sylow의 순서 $2$ 하위 그룹은 $8$ 그리고 세 번째 음절 정리에 의해 우리는 음절의 수를 말할 수 있습니다. $2$ 하위 그룹은 $1$ 또는 $3$. 그런 다음 sylow를 찾아서$2$ 명시 적으로 우리는 그것의 $3$. 그러나 여기서 우리는 또한 sylow의 수를 알고 있습니다$3$ 하위 그룹은 $1$ 또는 $4$.

제 질문은 정확한 음절 수를 찾을 수 있습니까? $2$$3$ 때때로 우리는 sylow 하위 그룹의 정확한 수만 필요하기 때문에 하위 그룹의 요소 계산에 의해 명시 적으로 sylow 하위 그룹을 계산하지 않고 하위 그룹?

답변

4 AlanWang Dec 07 2020 at 21:32

가정 $S_4$ 독특한 Sylow가 있습니다 $2$-하위 그룹 말 $K$. Sylow Second Theorem에 의해,$K$ 정상이어야합니다 $S_4$. 그러나$S_4$ 정상적인 하위 그룹이 없습니다. $8$( 여기 참조 ). 따라서 Sylow의 수$2$-하위 그룹 $S_4$ 3이어야합니다.