순서 90의 그룹에는 순서 10의 하위 그룹이 포함됩니다.
나는 증명하려고 노력하고 있습니다 $G$ 주문 그룹입니다 $90$이면 주문의 하위 그룹이 포함됩니다. $10$. 이것이 내가 지금까지 가지고있는 것입니다.
“소인수 분해 $90$ 이다 $3^2 \cdot 2 \cdot 5$. 첫 번째 Sylow 정리, Sylow에 의해$p$-하위 그룹이 존재합니다. 즉, Sylow가 하나 이상 있습니다. $2$-하위 그룹, 말 $P$ 그리고 적어도 하나의 Sylow가 $5$-하위 그룹, 말 $Q$. 또한 Sylow$p$-하위 그룹은 사소하게 교차합니다. $|P \cap Q|=1$.
따라서 우리는$|PQ|=\frac{|P||Q|}{|P \cap Q|}=\frac{2 \cdot 5}{1}=10$.
그래서$G$ 하위 그룹 포함 $PQ$ 주문 $10$, 표시됩니다.”
이 올바른지?
답변
다른 포스터의 끈기에 감탄하지만 여기에 더 빠른 방법이 있습니다.
한다고 가정 $n_5=6$. 그때$G$ Six Sylow에서 활동 $5$-하위 그룹. 같이$|N_G(P)|=15$, 그리고 이것은 중요한 부분입니다.$2$ Sylow를 정규화 할 수 있습니다. $5$-하위 그룹 . 따라서 순서 요소의 순열 동작$2$ (라벨링까지) $(1,2)(3,4)(5,6)$, 이상한 순열입니다. 허락하다$H$ Sylow에 균등 한 순열을 유도하는 요소 집합 $5$-하위 그룹. 그때$|G:H|=2$, 따라서 모든 주문 요소 $5$ 눕다 $H$. Sylow의 정리에 따르면,$n_5=1$ ...에 대한 $H$ (다른 옵션 없음), 따라서 $n_5=1$ ...에 대한 $G$, 모순.
내 더 힘든 증거에 대한 David A. Craven의 발언에 따라 :
여기에서 차수 4n + 2의 그룹이 지수 2의 (정규) 부분 군을 가지고 있다는 증거를 찾을 수 있으며 , Cayley의 정리보다 조금 더 많이 사용하여 차수 4n + 2의 대칭 그룹에 포함됩니다. 지금$90=4\cdot 22+2$ 이 형식이므로 그룹 $G$ 90 차수의 하위 그룹은 항상 인덱스 2의 하위 그룹입니다. $H$ 45 차의 모든 Sylow 5 하위 그룹 $G$ Sylow 5 하위 그룹입니다. $H$그 반대. 그러나 Sylow 정리를 쉽게 적용하면 45 차 그룹이 항상 정상적인 Sylow 5 하위 그룹을 가짐을 알 수 있습니다.$G$ 고유하고 따라서 정상적인 Sylow 5 하위 그룹이 있어야합니다.
그런 다음 제품이 실제로 하위 그룹을 정의하므로 논쟁이 계속됩니다.
의견에서 언급했듯이 귀하의 증거는 $PQ$일반적으로 사실 일 필요는 없습니다. 하나가 다른 하나를 정규화하면 ($P\subseteq N_G(Q)$ 또는 $Q\subseteq N_G(P)$) 그러면 작동하고 $PQ$그룹입니다. 그들 중 하나가 실제로 정상적인 경우에 해당합니다.$G$. 하지만 당신은 그것을 보여주지 않았습니다$PQ$하위 그룹이므로 귀하의 증거는 기껏해야 불완전합니다. 희망은 증명하는 것입니다$Q$반드시 정상입니다. 이것은 사실이지만 컴퓨터보다는 추상적으로 증명하는 것이 다소 외설적입니다. 증명은 궁극적으로 문제를 제한하기 위해 먼저 요소를 계산 한 다음 다양한 방법으로 고려할 여러 하위 사례 중 하나입니다.
궁극적으로, 나는 Sylow 5- 하위 그룹이 정상이라는 것을 약간 덜 증명할 것입니다. 우리가 정상 Sylow 2- 하위 그룹, 정상 Sylow 5- 하위 그룹을 가지거나 10 차 하위 그룹을 구성했거나 질문이 불가능하므로 제외 할 수 있습니다.
Sylow의 수를 고려하십시오 $5$-표시되는 하위 그룹 $n_5$. Sylow 정리에 따르면$n_5\equiv 1\bmod 5$ 과 $n_5$ 분할 $2\cdot 3^2=18$. 따라서$n_5=1$ 또는 $n_5=6$. 만약$n_5=1$ 다음 당신의 $Q$ 실제로 정상이므로 $PQ$순서 10의 하위 그룹이며 완료되었습니다. 그러나 경우에해야 할 일$n_5=6$? 궁극적으로 이것은 불가능하지만, 우리가 모순을 도출 할 수없는 경우에도 10 차 하위 그룹을 항상 표시 할 수있는 방법을 보여줄 것입니다.
그래서 가정 $n_5=6$. 활용 작용은 6 개의 Sylow 5- 하위 군을 전 이적으로 치환합니다. 궤도-안정화 정리 또는 특수한 경우 인 Sylow 정리 중 하나를 적용하여$[G:N_G(Q)]=n_5=6$, 그래서 $N_G(Q)$ 순서 15 및 인덱스 6의 하위 그룹입니다. $G$. 차수 15의 모든 그룹은 순환 적입니다.
이제 뚜렷한 켤레 $Q$ 이후로 구별되는 노멀 라이저가 $N_G(tQt^{-1})=t N_G(Q) t^{-1}$ 모든 $t\in G$ (그들은 사소하지 않게 교차 할 수 있지만 같을 수는 없습니다) 따라서 그러한 두 정규화는 차수 15의 요소를 공유하지 않습니다. 차수 15의 순환 그룹은 차수 15의 정확히 8 개 요소를 포함하므로 다음의 켤레의 정규화는 $Q$ 주문 15의 총 48 개 요소를 $G$.
Sylow 5- 부분 군은 순서 5의 순환이고 정확히 5 차 요소 4 개를 포함하므로 다음과 같은 순서 5의 총 24 개 요소가 있습니다. $G$.
합쳐서 우리는 $G$, 어느 것도 순서가 없습니다 (나눌 수 있음) 2.
이제 차수 2의 요소 수를 고려합니다. Sylow 2- 하위 그룹은 차수 2의 순환이기 때문에 이것은 정확히 다음의 Sylow 2- 하위 그룹의 수입니다. $G$, 표시 $n_2$. Sylow 정리에 따르면$n_2\in\{1,3,5,9,15,45\}$, 90의 홀수 제수. 우리의 목표는 각 경우에 모순이 있거나 순서 10의 그룹을 나타낼 수 있음을 보여주는 것입니다. 그러면 원하는 결과가 설정됩니다.
고치다 $P\in\operatorname{Syl}_2(G)$.
우리는 먼저 $n_2=[G:N_G(P)]$ 5로 나눌 수 있으므로 $n_2\in\{5,15,45\}$; 이것을 무시하고 여전히 다른 값을 처리 할 수 있습니다.$n_2$비교적 간단하지만 편리하게 줄일 수 있습니다. 이것을 보려면$P=\langle\,y\,\rangle$ 순서 2의 순환이고 실제로 $N_G(P)=C_G(y)$. 만약$N_G(P)$ 순서가 5로 나눌 수있는 경우 순서 5의 요소를 갖게됩니다. $y$ 순서 5의 요소를 중앙 집중화합니다. 따라서 $y$ 일부 Sylow 5 하위 그룹을 정규화하지만 $n_5=6$Sylow 5- 부분 군의 정규화 기가 홀수 차수를 가짐을 의미합니다. 그러므로$n_2$ 원하는대로 5로 나눌 수 있습니다.
만약 $n_2=45$ 그런 다음 우리는 $72+45>90$ 비 아이덴티티 요소 $G$, 불가능합니다. 그래서$n_2\neq 45$.
만약 $n_2=15$, 그러면 우리는 $72+15=88$비 동일성 요소, Sylow 3 하위 그룹에 대해 최대 3 개의 비 동일성 요소를 남깁니다. 그러나 그러한 하위 그룹에는 정확히 9 개의 요소가 있기 때문에 이것은 또한 불가능합니다. 그래서$n_2\neq 15$.
마지막으로 우리는 사건을 고려해야합니다 $n_2=5$. 이것은$|N_G(P)|=18$. Sylow 2- 하위 그룹에 대한 활용 작용은 우리에게 그룹 동형을 제공합니다$\phi\colon G\to S_5$. 이 동형은 다음 경우에만 사소합니다.$P$우리가 가정 한 것은 정상이 아닙니다. 90은 분할하지 않기 때문에 주사 할 수 없습니다.$|S_5|=120$. 과연$9$ 나누지 않는다 $120$따라서 커널은 순서를 3으로 나눌 수 있어야합니다. $\ker(\phi)\subseteq N_G(P)$, 우리는 $\ker(\phi)$ 주문했다 $\{3,6,9\}$ 그리고 그 $\phi(G)$ 순환 하위 그룹 포함 $C$ 주문 5.
우리는 주문 30 그룹에 주문 10의 하위 그룹이 있음을 알고 있다면 케이스가 남아 있다고 주장합니다. $|\ker(\phi)|=9$.
이제 30 번 주문 그룹이 어디로 들어오는 지 보겠습니다. $\ker(\phi)$ 주문 6이 있습니다. $\phi^{-1}(C)$ 주문이 30입니다. $\ker(\phi)$ 주문이 3이면 $\phi(G)$ 주문이 30입니다. $H$ 그런 다음 순서 10의 하위 그룹입니다. $\phi(G)$, 다음 $\phi^{-1}(H)$ 주문 30의 하위 그룹입니다. 이것은 주장을 설정합니다.
순서 30의 그룹은 순서 10의 하위 그룹이 연습으로 남아 있음을 인정합니다. 이전과 거의 동일한 작업을 시도 할 수 있습니다. Sylow 5 하위 그룹이 정상이 아닌 경우 6 개, 5 차 요소 24 개 등이 있습니다. (또는 다른 답변에서이 전체 문제에 대한 훨씬 쉬운 증거를 참조하십시오. David A. Craven이 지적한 것과 동일한 주장을 적용)
이것은 사건을 떠난다 $|\ker(\phi)|=9$ (과 $n_2=5$) 고려할 유일한 사람으로. 그때$\phi(G)$ 차수가 10이지만 이것은 몫의 그룹입니다 $G$, 하위 그룹을 생성하지 않습니다. $G$이전과. 그러나$\phi(G)$ 반드시 주기적이므로 $C$ 정상이다 $\phi(G)$, 등 $\phi^{-1}(C)=L$ 차수 45의 정규 부분 군입니다. $G$.
주문 고려 사항에 따라 Sylow 5 하위 그룹 $L$ Sylow 5 하위 그룹입니다. $G$. 사실, 이후$L$ 정상이고 활용 동작은 Sylow 5 하위 그룹에서 전 이적입니다. $\operatorname{Syl}_5(G)=\operatorname{Syl}_5(L)$. 우리는 사실 45 차 주문 그룹이 항상 정상적인 Sylow 5 하위 그룹을 가지고 있다고 주장하며, 이는 우리에게 모순을 제공하고 마침내 모든 사례를 완료하고이를 증명합니다.$G$ 순서 10의 하위 그룹이 있습니다.
그렇다면 차수 45 그룹에 정상적인 Sylow 5 하위 그룹이 있음을 증명하는 방법은 무엇입니까? 글쎄, 그것은 마침내 쉽게! Sylow 정리에 따르면 그러한 그룹의 Sylow 5 하위 그룹의 수는 5로 코 프라임되고 9로 나뉩니다. 따라서 유일한 가능성은 1입니다.
QED.