순서 (짝수 순서의 그룹 수 $\le n$) / (주문 그룹 수 $\leq n$) 수렴? 그렇지 않은 경우 클러스터 포인트는 무엇입니까?
저는 최근에 그룹 이론에 대한 학부 과정을주었습니다 (이는 전적으로 제 전문 분야가 아니기 때문에 다음 질문에 대해 잘 알려진 대답이있을 수 있습니다. 내가 해결 가능성의 개념을 설명 할 때, 나는 조금 벗어나서 Feit-Thompson 정리라고도 알려진 홀수 순서 정리에 대해 이야기했습니다. 나는 한 발언을했다. 유한 그룹들 사이에서, 해결 가능성은 적어도 이상 할 가능성이 있기 때문에 예외가 아니라 해결 가능성이 규칙이다. 제 학생 중 한 명이 물었습니다. "그러면 내가 임의의 유한 그룹을 취하면이 그룹이 이상한 순서 일 가능성이 얼마나됩니까?" 나는 대답을 알지 못했습니다.
따라서 다음과 같은 일련의 관련 질문을하고 싶습니다.
(1.) If \ begin {equation *} x_ {n} = \ frac {\ # \ text {짝수 순서 그룹의 동형 클래스$\leq n$}} {\ # \ text {질서 그룹의 동형 클래스 $\leq n$}} \ end {equation *} 은 시리즈를 수행합니다.$x_{n}$모이다? 그렇지 않은 경우 클러스터 포인트는 무엇입니까?
(2.) 만약 $m\in\mathbb{N}$및 \ begin {equation *} y_ {n} = \ frac {\ # \ text {질서 그룹의 동형 클래스$\leq n$, 다음으로 나눌 수 있음 $m$}} {\ # \ text {질서 그룹의 동형 클래스 $\leq n$}} \ end {equation *} 은 시리즈를 수행합니다.$y_{n}$모이다? 그렇지 않은 경우 클러스터 포인트는 무엇입니까?
(3.) If \ begin {equation *} z_ {n} = \ frac {\ # \ text {Isomorphy classes of solvable groups of order$\leq n$}} {\ # \ text {질서 그룹의 동형 클래스 $\leq n$}} \ end {equation *} 은 시리즈를 수행합니다.$z_{n}$모이다? 그렇지 않은 경우 클러스터 포인트는 무엇입니까?
내 간단한 직관은 세 가지 경우 모두에서 대답은 "예, 수렴"이어야하며 수렴해야한다는 것입니다. $\frac{1}{m}$ 경우 (2.) 및 값 $\geq\frac{1}{2}$ 경우 3.
대답이 잘 알려져 있다면 미리 용서를 구합니다. 저는 그룹 이론의 전문가가 아닙니다.
답변
의견에서 언급했듯이 거의 모든 유한 그룹은 $2$-단계 무능 $2$-그룹, 그래서 추측 적으로 1)과 3)에 대한 답은 한계가 모두 존재하고 둘 다 같다는 것입니다. $1$; 즉, 거의 모든 유한 그룹은 균등 한 순서를 가지며 거의 모든 유한 그룹은 풀 수 있습니다 (전능하지 않을 수도 있음). 이것에 대한 수치 적 증거로서, 거의 모든 첫 번째$50$ 10 억 그룹의 질서 $1024$. 2)에 대한 추측 적 대답은$m$ 의 힘이다 $2$ 그런 다음 한계는 $1$ 그렇지 않으면 $m$ 사소하지 않은 홀수 제수가 있으면 한계는 다음과 같습니다. $0$.
Higman과 Sims로 인한 결과는 점근 적으로 $p$-주문 그룹 $p^n$ 이다 $p^{ \frac{2}{27} n^3 + O \left( n^{8/3} \right)}$. 하한은 계산에서 비롯됩니다.$2$-단계 무능 $p$-여러 떼; 여기 에서 전능 한 거짓말 대수에 대한 유사한 주장을 볼 수 있습니다 . 이 카운트를 주문의 함수로 생각하면$p^n$ 최대화되었는지 확인하는 것은 어렵지 않습니다. $p^n$ 합리적으로 큰 $N$, 만드는 것으로 $p$ 가능한 한 작게 (동등하게 $n$ 가능한 한 크게), 이것이 골라내는 것입니다 $p = 2$. 무능 그룹 (Sylow 하위 그룹의 산물)의 개수가 질서 그룹에 의해 지배된다는 것을 보여주는 유사한 휴리스틱 주장을 기록 할 수 있어야합니다.$2^n$ 또한.