SVD : 오른쪽 특이 행렬이 전치로 쓰여지는 이유

Question

SVD는 항상 다음과 같이 작성됩니다.

A = U Σ V_ 조옮김

문제는 왜 오른쪽 특이 행렬이 V_Transpose로 쓰여진 것일까 요?

내 말은, W = V_Transpose

그런 다음 SVD를 A = U Σ W로 씁니다.

SVD 이미지 크레딧 : https://youtu.be/P5mlg91as1c

감사합니다

Answer 1

$V^T$ 에르 미트 전치 (복소 켤레 전치)는 $V$.

$V$ 그 자체는 다음의 오른쪽 특이 벡터를 보유합니다. $A$ 그것은 (직교 정규) 고유 벡터입니다 $A^TA$; 그 정도 :$A^TA = VS^2V^T$. 우리가 쓴다면$W = V^T$, 다음 $W$ 더 이상 고유 벡터를 나타내지 않습니다. $A^TA$. 또한 SVD를 다음과 같이 정의합니다.$A = USV^T$ 직접 사용할 수 있습니다. $U$ 과 $V$ 의 의미에서 행렬을 대각선으로 $Av_i = s_iu_i$, for $i\leq r$ 어디 $r$ 순위입니다 $A$ (즉 $AV = US$). 마지막으로 사용$USV^T$ 또한 대칭 행렬의 경우 계산을 단순화합니다. $A$ 어떤 경우 $U$ 과 $V$ (기호까지) 일치하고 단일 분해를 고유 분해에 직접 연결할 수 있습니다. $A = Q \Lambda Q^T$. 명확하게 말하면 : " 예,$V^T$ 대신에 $W = V^T$약간의 관습 이지만 도움이되는 것입니다.

Answer 2

선형 대수적인 이유로 전치로 작성되었습니다.

사소한 랭크 1 사례를 고려하십시오. $A = uv^T$, 어디 $u$ 과 $v$즉, 단위 벡터입니다. 이 표현은 선형 변환으로서$A$ 벡터를 취한다 $v$ ...에 $u$, 및 직교 보완 $v$0으로. 조옮김이 자연스럽게 어떻게 나타나는지 확인할 수 있습니다.

이것은 당신을 알려줍니다 SVD에 의해 일반화되어 있는 선형 변환은 순위 하나의 맵의 합이며, 무엇보다, 당신은 직교하는 피가수를 준비 할 수 있습니다. 특히 분해$$ A = U\Sigma V^T = \sum_{i = 1}^k \sigma_i u_i v_i^T $$ 모든 선형 변환에 대해 $A$ 의 위에 $\mathbb{R}^n$ 일부 $n$ (보다 일반적으로 분리 가능한 Hilbert 공간의 모든 간결 연산자), 직교 집합을 찾을 수 있습니다. $\{v_i\}$ 과 $\{u_i\}$ 그런

1. $\{v_i\}$ 스팬 $\ker(A)^{\perp}$.

2. $A$ 소요 $v_i$ ...에 $\sigma_i u_i$, 각각 $i$.

이것의 특별한 경우는 양의 반 정호 행렬에 대한 스펙트럼 분해입니다. $A$, 어디 $U = V$ 그리고 $u_i$의 고유 벡터는 $A$--- 요약 $u_i u_i^T$랭크 1 직교 투영입니다. Hermitian 용$A$, $U$ "거의 같다" $V$--- 해당 고유 값이 음수이면 다음을 취해야합니다. $u_i = -v_i$ 그래서 $\sigma_i \geq 0$.

Answer 3

내 대답은 다른 사람보다 훨씬 멍청하다 ...

W = V_Transpose

그런 다음 SVD를 A = U Σ W로 씁니다.

독자에게 하나 이상의 변수 ($W$) 그러나 간단한 표현의 경우 $V^T$ IMO는 그만한 가치가 없습니다.