탄젠트 공간이 벡터 공간이라는 증거?
이러한 정의로 시작
다양체 의 곡선$\mathcal M$ 부드럽습니다 (예 : $C^{\infty}$)지도 $\sigma $ 약간 열린 간격에서 $(-\epsilon,\epsilon)$ 실제 라인의 $\mathcal M$
두 개의 곡선 $\sigma_1$ 과 $\sigma_2$되는 시점에서 - 접선 $p$ 에 $\mathcal M$ 만약) $\sigma_1(0) = \sigma_2(0) = p$ 및 (b) 일부 로컬 좌표계에서 $(x^1,x^2,\ldots,x^m)$ 주위에 $p$, 두 곡선은 일반적인 의미에서 곡선으로 접합니다. $\mathbb R^m$, $$ (x^i \circ \sigma_1)'(0) = (x^i \circ \sigma_2)'(0) $$ 여기, $i=1,\ldots,m$
접선 벡터는 곡선의 등가 클래스로 정의$\mathcal M$두 곡선 사이의 등가 관계 는 점에서 접한다는 것입니다. $p$.
탄젠트 공간 이며$T_p\mathcal M$ ...에 $\mathcal M$ 지점에서 $p$점에서 모든 접선 벡터 의 집합입니다.$p$
나는 지점에서 접선 공간을 증명하려고 노력하고 있습니다. $p$ 다양하게 $\mathcal M$ 벡터 공간입니다.
나는 시작한다 $v_1 \in T_p\mathcal M$, 및 $v_2 \in T_p\mathcal M$, 그리고 다음과 같은 정의가 있습니다. $$ v_1 + v_2 := [\phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )] \\ r \ v_1 := [\phi^{-1}\circ \ (r \phi\ \circ \sigma_1)]\ \forall r \in \mathbb R $$
나는 그것을 보여주고 싶다 $v_1 + v_2 \in T_p \mathcal M$ 과 $r \ v_1 \in T_p \mathcal M$
같이 $v_1 ,v_2 \in T_p\mathcal M$, 다음 $$ \sigma_1(0) = \sigma_2(0) = p $$
이제 $v_1 + v_2$ 벡터가된다 $p$ , $\phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = p$ $$ \phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = \phi^{-1} \ (\phi\ ( \sigma_1(0)) + \phi\ (\sigma_2(0)) ) \\ = \phi^{-1}((\phi\ ( p) + \phi\ (p) )) \\ = \phi^{-1}( \ 2\phi\ ( p) ) \neq p $$
정의에서 시작하는 종결 관계를 증명할 수 없습니다. 내가 뭘 잘못하고 있습니까?
편집하다:
나는 다음과 같은 오전 책 "Isham, 물리학 자 크리스 J. 현대 미분 기하학. 권. (61) 세계 과학, 1999 년" , 특수 차트를 사용합니다.$(U,\phi)$ 그런 $\phi(p) = \mathbf 0 \in \mathcal M$,이 선택 사항 사용
$$ \phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = \phi^{-1}( \ 2\phi\ ( p) ) = \phi^{-1}(0) = p $$따라서 폐쇄는 추가로 입증되었습니다. 그러나이 차트는 특별한 선택입니다. 하지만 정의는 주변의 모든 차트에 적용됩니다.$p$이므로 다른 차트를 선택해도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
답변
접선 벡터 a $p \in M$ 부드러운 곡선의 등가 클래스입니다. $\sigma : (-\epsilon,\epsilon) \to M$ 그런 $\sigma(0) = p$ ( "부드러운 곡선 $M$ ...을 통하여 $p$"). 여기 $\epsilon = \epsilon (\sigma)$곡선마다 다를 수있는 매개 변수입니다. 등가 관계는 다음과 같이 주어진다.$\sigma_1 \sim \sigma_2$ 만약 $(\phi \sigma_1)'(0) = (\phi \sigma_2)'(0)$에 대한 몇 가지 차트$\phi$ 주위에 $p$. 확인하기 쉽습니다.$\sigma_1 \sim \sigma_2$ iff $(\phi \sigma_1)'(0) = (\phi \sigma_2)'(0)$에 대한 모든 차트$\phi$ 주위에 $p$.
부드러운 곡선이 주어짐 $\sigma : (-\epsilon,\epsilon) \to M$ ...을 통하여 $p$, 물론 정의 할 수 있습니다. $r \cdot \sigma : (-\epsilon/\lvert r \rvert,\epsilon/\lvert r \rvert) \to M, (r \cdot \sigma)(t) = \sigma (rt)$. 불행히도 비슷한 정의가 없습니다.$\sigma_1 + \sigma_2$ 곡선 용 $\sigma_i$ 에 $M$ 구유 $p$. 정의를 통해 추가하려고합니다.$$\sigma_1 + \sigma_2 = \phi^{-1}(\phi\sigma_1 + \phi \sigma_2).$$ 이것은 차트가 $\phi : U \to V \subset \mathbb R^n$ 가치를 인정하다 $\mathbb R^n$하지만 일반적으로 작동하지 않습니다. $\phi\sigma_1(t) + \phi \sigma_2(t) \in V$ ...에 대한 $\lvert t \rvert$충분히 작습니다. 심지어$\phi\sigma_1(0) + \phi \sigma_2(0) = \phi(p) + \phi(p) = 2\phi(p)$ 일반적으로 $V$.
해결책은 다음과 같은 차트 만 고려하는 것입니다. $\phi(p) = 0$. 이것은 우리가 임의의 차트를 대체하면 항상 얻을 수 있습니다.$\phi$ 으로 $T\phi$ 어디 $T$ 번역은 $-\phi(p)$. 귀하의 정의에 대해서도 동일하게 적용됩니다.$r \cdot \sigma$.
이렇게하면 실제로 벡터 공간의 구조를 알 수 있습니다. $T_p M$. 공식적으로 다음과 같이 진행할 것을 제안합니다.
보여줘 $\phi_* : T_pM \to T_0V, \phi_*([\sigma]) = [\phi\sigma]$는 bijection입니다.
보여줘 $T_0V$ 벡터 공간이됩니다. $[\tau_1] + [\tau_2] = [\tau_1 + \tau_2]$ 과 $[r \cdot \tau] = [r \cdot \tau]$, 어디 $(\tau_1 + \tau_2(t) = \tau_1(t)+ \tau_2(t)$ 과 $(r \cdot \tau)(t) = r \cdot \tau(t)$. 항상 최대 간격이 있습니다.$\tau_1(t)+ \tau_2(t) \in V$ 과 $r \cdot \tau(t) \in V$; 우리는 이러한 간격을$\tau_1 + \tau_2$ 과 $r \cdot \tau$. 그러면지도가$\mathbb R^n \to T_0V, v \mapsto \tau_v$ 와 $\tau_v(t) = tv$, 벡터 공간의 동형을 제공합니다. $\dim T_0V = n$.
그것을 관찰하십시오 $\phi_*$ 벡터 공간의 고유 한 구조를 유도합니다. $T_pM$ 그런 $\phi_*$ 벡터 공간의 동형이됩니다.
얼핏 보면 벡터 공간 구조가 $T_pM$ 선택에 따라 달라집니다 $\phi$. 따라서 마지막 단계는 두 개의 차트가$\phi_1, \phi_2$ 주위에 $p$ 와 $\phi_i(p) = 0$ 동일한 벡터 공간 구조를 생성합니다. $T_pM$.