텐서 곱과 같은 대수를 필드의 데카르트 곱으로 표현하는 방법
저는 갈루아 이론 소개 과정에서이 질문을 다루고 있습니다.
다음 중 필드가되는 대수는 무엇입니까? 분야의 제품? 이러한 필드를 설명하십시오.
- $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
- $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
- $\mathbb{F}_2(\sqrt{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_2(T)} \mathbb{F}_2(\sqrt{T}) $
- $\mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_4(T)} \mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) $
내가 말할 수있는 질문을 명확히하기 :
$.\otimes_{A}.$ 링 A에 대한 두 개의 대수 또는 모듈의 Tensor 곱에 사용되는 표기법입니다.
Tensor 제품은 내 과정에서 보편적 인 속성으로 정의됩니다.
$\mathbb{F}_2$ 과 $\mathbb{F_4}$ 표시하다 $\mathbb{Z}_2$ 과 $\mathbb{Z}_4$ 각기.
내 진행 :
유한 대수에는 유한 한 많은 최대 이상이 있다는 것을 알고 있습니다.
말하다 $m_1,...,m_k$ 유한 대수 A의 최대 이상이됩니다. $A \cong \frac{A}{m_1^{n_1}}\times ...\times \frac{A}{m_r^{n_r}}$ 일부 $n_i\in\mathbb{N}$.
따라서 $\space $$\ forall i \ space; n_i = 1 $ 이면 A는 필드의 곱입니다.
또한이 문제에 대한 내 답변에서 아래 링크 된 내 답변 문서에서 참조한 몇 가지 유용한 정리가 있습니다.
다음 문서에서 자세한 답변을 모두 작성했지만 잘 모르겠습니다 (특히 파트 3과 4에 대해).
Google 문서 링크에 액세스 하려면 여기 를 클릭 하십시오 .
내 답변을 본 후 다음을 추가하고 싶습니다.
3 부에서는 내 답변에 다음과 같은 내용을 표시했습니다.
$ \ mathbb {F} _2 (\ sqrt {T}) \ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _2 (T)} \ mathbb {F} _2 (\ sqrt {T}) \ cong \ frac {\ mathbb { F} _2 (\ sqrt {T}) [U]} {(U- \ sqrt {T}) ^ 2} $ 여기서 $ U $ 는 변수입니다. 따라서 이것은 $ U- \ sqrt {T} $ 와 같은 무능한 요소가 있기 때문에 필드가 아닙니다 . 그러나 나는 그것이 밭의 산물 일 수 있는지 여부를 보여줄 수 없습니까?
또한 4 부에서는 내 답변에 다음과 같은 내용을 표시했습니다.
$ \ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) \ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _4 (T)} \ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) \ cong \ frac {\ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) [U]} {U ^ 3-T} $
그러나 지금은 막혔고 밭의 산물에 대해 더 이상 말할 수 없습니다.
진행으로 이어지는 도움을 주시면 대단히 감사하겠습니다.
답변
3의 경우 텐서 곱에 전능 한 요소가 있다고 말했듯이. 이것은 필드의 제품에서 발생할 수 없습니다. 우리가 가지고 있다면$R=F_1\times\cdots\times F_n$, 분야의 제품 $(a_1,\ldots,a_n)^2$ 제로인 $R$ 그때 $a_i^2=0$ 각 $F_i$ 그래서 $a_i=0$ (같이 $F_i$필드). 이 예에서 텐서 곱은 필드의 곱이 아닙니다.
필드 확장 용 $F_1/F$, $F_2/F$ 텐서 곱 $F_1\otimes_F F_2$ 두 가지 경우에만 필드의 산물이 될 수 없습니다. $F_1/F$ 과 $F_2/F$ 분리 할 수없는 확장입니다. 바로 여기에 있습니다.
그러나 경우 4의 경우 분리 가능한 확장이 있습니다. 과연$F_1/F$ 여기에 Kummer 확장이 있습니다. $F=\Bbb F_4(T)$ 통합의 세 세제곱근이 있습니다. $1$, $\omega$ 과 $\omega^2$. 그때$$F_1\otimes _F F_1\cong F_1\times F_1\times F_1$$ 통하다 $$a\times b\mapsto (ab,a\sigma(b),a\sigma^2(b))$$ 어디 $\sigma:F_1\to F_1$ automorphism 복용입니다 $\sqrt[3]T$ ...에 $\omega\sqrt[3]T$.