특정 서브 세트가 CW 서브 컴플렉스임을 증명

Aug 16 2020

Hatcher 's Algebraic Topology (P. 520의 Prop. A.1, 관련성이 없다고 생각하지만 관심있는 사람들을위한 Prop. A.1) 의 세부 정보에 문제가 있습니다. CW 콤플렉스가 있습니다.$X$ 그리고 $n$-세포 $e_\alpha^n \subset X$,이 셀의 첨부 맵 이미지는 유한 서브 콤플렉스에 포함되어 있습니다. $A \subset X$. Hatcher는 다음과 같이 주장합니다.$A \cup e_\alpha^n$유한 부분 복합체이지만 그 이유를 이해하는 데 문제가 있습니다. 나는 경계를 보여 주려고$e_\alpha^n$ 에 포함되어 있습니다 $A$그러나 나는 아무데도 가지 않는다. 일반적으로 폐쇄가 사실입니까?$n$-셀은 첨부 된지도의 이미지와 결합되어 있습니까?

편집 : 책이 아직 증명하지 않았기 때문에 CW 단지가 Hausdorff라는 사실을 불러 일으키지 않고 이것을 증명하고 싶습니다.

답변

1 ConnorMalin Aug 16 2020 at 02:26

CW-complex가 Hausdorff임을 보여주는 것은 매우 간단합니다. 걱정이된다면 증명에 포함 시키십시오.

이 사실로 인해 열린 셀의 폐쇄는 $e \rightarrow X$ 의 이미지입니다 $e \cup S^n \rightarrow X$경계에 열린 셀과 특성 맵을 포함하여 제공됩니다. 이 때문입니다$e \cup S^n = D^{n+1}$컴팩트하고 컴팩트 한 세트의 이미지는 Hausdorff 공간에서 닫힌 것을 의미합니다. 이것은 이미지를 포함하는 가장 작은 닫힌 세트입니다$e$ 특성 맵 이미지의 모든 지점이 이미지의 경계에 있기 때문에 $e$.