특정 속성의 합으로 다항식 경계 지정

Question

밝히다 $f:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$ 으로 $f(x.y)=(x-1)^2+(y-1)^2$.

질문 : 연속적인 기능이 있습니까 ?$g,h:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$, 만족스러운

1. $g(x,y)=0$ 경우에만 $xy=1$.
2. $h(x,y)=0$ 경우에만 $x=y$.
3. $f(x,y) \le g(x,y)+h(x,y)$.

의견 : 동기는 사건에서 비롯됩니다.$x,y$ a의 특이 값으로 해석됩니다. $2 \times 2$매트릭스. 그때$f(x,y)$ 매트릭스와의 거리 $\operatorname{SO}(2)$. $g$ 과 $h$ 는 각각 영역 보존 및 등각에서 매트릭스의 편차에 대한 측정 값으로 해석됩니다.

Answer 1

허락하다 $z = x + i y, \, F(z) = (z-(1+i))^2$. 그때$|F(z)| = |(z-(1+i))|^2 = f(x,y)$.

이제 설정 $G(z) = z^2 - 2i$. 그때$\Re G(z) = (x-y)(x+y), \, \Im G(z) = 2(xy-1)$.

계산 $\frac{F(z)}{G(z)} = \frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}$ 따라서 $$\big|\frac{F(z)}{G(z)}\big| = \big|\frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}\big| \le 1$$ 경우에만 $\Re z + \Im z \ge 0$. $x \ge 0, \, y \ge 0$.

따라서 이제 당신은 $x, \, y \ge 0$ $$ f(x,y) = |F(z)| \le |G(z)| \le |\Re G(z)| + |\Im G(z)|= |x-y||x+y| + 2|xy-1| $$ 그리고 당신은 읽을 수 있습니다 $g$ 과 $h$.