통합 방향 변경

Question

적분의 방향을 변경해야합니다.

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

내가 아는 바에서 먼저 모양을 찾아야합니다.

$0.5y^2 = x$ 과 $\sqrt{3-y^2} =x$

모양 I은 포물선입니다. $y^2 = 2x$
모양 II는 원 $x^2 + y^2 = 3$ (반지름 $\sqrt{3}$)

따라서 기본적으로 포물선에서 원으로 수평 화살표를 그립니다. $0 \leq y \leq 1$.

이 그림과 매우 유사한 것 :

수직선을 그릴 필요가 있으므로 다음과 같이 보이지만 세 영역이 있습니다.

1. 포물선을 치는 곳 (빨간색)
2. 우리가 선을 긋는 곳 $y=1$ (초록)
3. 원을 치는 곳 (파란색)

그래서 내 최종 답변은 다음과 같습니다.

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

내가 지금까지 맞나요? 그렇지 않은 경우 어떻게 수정합니까? 어떻게해야할지 몰라 막힌 느낌이 듭니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다! 감사!

Answer 1

당신이 한 일은 정확합니다. 완료되었습니다.

작업 확인, $y=1$ 교차하다 $0.5y^2=x$ ...에서 $x=0.5$. (이것은 주황색 영역에 해당합니다.$0.5y^2=x$ 다음과 같다 $y=\sqrt{2x}$ 언제 $y>0$.

또한, $y=1$ 교차하다 $\sqrt{3-y^2}=x$ ...에서 $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ 에 동등하다 $y=\sqrt{3-x^2}$ 언제 $y>0$.

하한은 항상 $y=0$.

콤팩트하게 표현할 수도 있습니다.

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

추가 평가는 세부 사항에 따라 다릅니다. $f$. 적분 순서 변경을 수행하는 가능한 동기 중 하나는$f$ 특정 순서로 통합하기가 더 쉽습니다.

비고 : 귀하의 communitivy에 따라 일부는 다음과 같이 작성합니다.

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$