통합 $e^{-\langle Ax , x \rangle}$ 위에 $\mathbb{R}^n$ [복제]

Dec 15 2020

문제 :

만약 $A_{n \times n}$ 양의 정의 대칭 행렬이며 다음을 보여줍니다. $$\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax , x \rangle}~ dx = \sqrt{\dfrac{\pi^n}{\det(A)}}$$ 어디 $\langle a , b\rangle$ 내적을 나타냅니다 $a$$b$.


접근하다 :

함수를 사용하여 변수 수식 변경을 사용하여 문제에 접근했습니다. $\varphi(x) = A^{-1}x$. 이후$A$pd이면 반전이 가능하다는 것을 보여줄 수 있습니다. 하지만 더 이상 진행할 수 없습니다.

여기 에서 비슷한 문제를 발견 했지만 아무것도 이해할 수 없습니다.

답변

3 JackD'Aurizio Dec 15 2020 at 20:47

허락하다 $v_1,\ldots,v_n$ 에 의해 유도 된 내적에 대한 정규 정규 기초 $A$, 해당 고유 값 포함 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n>0$. 우리는$\det(A)=\prod_{j=1}^{n}\lambda_j$ 및 등거리 변환 $$ \int_{\mathbb{R}^n}\exp(-x^t A x)\,dx = \int_{\mathbb{R}^n}\exp(-\lambda_1 x_1^2-\ldots-\lambda_n x_n^2)\,dx\stackrel{\text{Fubini}}{=}\prod_{j=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\lambda_j}}\int_{\mathbb{R}}e^{-z^2}\,dz. $$

3 Meowdog Dec 15 2020 at 20:51

이후 $A$ 대칭이고, 약간의 직교가 있습니다. $S \in \mathbb{R}^{n \times n}$ (즉 $S^{-1} = S^\top$) 그런 $A = S^{-1}DS$ 어디 $D := \mathrm{diag}(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ 모든 고유 값을 포함하는 대각 행렬입니다. $A$. 그들은 다음의 가정 때문에 긍정적입니다.$A$확실하다. 그래서 때문에$S^{-1} = S^\top$: $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax, x\rangle} ~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Sx, DSx \rangle}~\mathrm{d}x $$ 이제 운영자를 소개하십시오 $\Phi: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$, $\Phi(x):= Sx$. $\Phi$ 때문에 bijective $S$뒤집을 수 있습니다. 또한 쉽게 찾을 수 있습니다.$D\Phi(x) = S^{-1}$ 모든 $x \in \mathbb{R}^n$. 우리는 또한 알고 있습니다$\lvert \det(S^{-1}) \rvert = 1$ 때문에 $S$직교합니다. 따라서 변환 공식은 다음을 산출합니다.$$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Sx, DSx \rangle}~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{- \langle S \Phi(x), DS \Phi(x) \rangle}~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle x, Dx \rangle}~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{j = 1}^n \lambda_jx_j^2}~\mathrm{d}x $$ 그것을 사용하십시오 $e^{x+y} = e^x e^y$ 모든 $x, y \in \mathbb{R}$ 그리고 Fubini는 다음과 같이 결론을 내립니다. $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{j = 1}^n \lambda_jx_j^2}~\mathrm{d}x = \prod_{j = 1}^n \int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda_j x_j^2}~\mathrm{d}x_j $$ 이제 고려하십시오 $$ I_j := \int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda_j x_j^2}~\mathrm{d}x_j. $$ 대체 소개 $y := \sqrt{\lambda_j}x_j$. 그때:$$ I_j = \frac{1}{\sqrt{\lambda_j}} \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}~\mathrm{d}y = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda_j}} $$ 모든 것을 통합 : $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax, x\rangle} = \prod_{j = 1}^n I_j = \frac{\sqrt{\pi}^n}{\sqrt{\prod_{j = 1}^n \lambda_j}} = \frac{\sqrt{\pi}^n}{\sqrt{\det(A)}} = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det (A)}} $$ 마지막 단계에서 우리는 고유 값의 곱이 행렬식이라는 것을 사용했습니다.