통합하는 방법 $\int_{0}^{1}(y^2+y)\sqrt{1+(2y+1)^2}dy$

Question

이 적분을 해결하려고하는데 기본 방법을 사용하여 수행하는 방법을 알 수 없습니다. 누군가 도울 수 있습니까?

Answer 1

$$I=\int(y^2+y)\sqrt{1+(2y+1)^2}\,dy$$ 허락하다 $$(2y+1)=\sinh(t) \implies y=\frac{1}{2} (\sinh (t)-1)\implies dy=\frac{1}{2}\cosh (t)$$ 어느 것이 $$I=\frac{1}{8} \int\left(\sinh ^2(t)-1\right) \cosh ^2(t)\,dt$$

이제 이중 각도 공식을 사용하여 매우 단순한 일에 직면합니다.

Answer 2

힌트 : let$f(y)=1+{(2y+1)}^2=4y^2+4y+2$

$f'(y)=8y+4$

따라서 우리는 $$y^2+y=l(4y^2+4y+2)+m(8y+4)+n$$

이제 찾기 $l,m,n$ 통합 .....