토폴로지 공리와 측정 이론 공리의 통합이없는 이유는 무엇입니까?
여기에 관련 스레드 .
처음에 토폴로지 공간과 측정 공간의 공리는 매우 비슷해 보입니다. 그들은 결합과 교차점의 폐쇄 공리가 다릅니다. 측정 항목과 측정 값 사이의 기묘한 유사성은 왜 이러한 공리가 개별적으로 정의되었는지 궁금합니다. 측정과 측정 공간의 개념만으로 이론을 발전시킬 수 없었을까요?
내가 보는 한 가지 문제는 순환 논리를 만들 수 있다는 것입니다. 측정 이론에서 개념을 개발하기 위해 위상 공간 공리 가 필요한 경우 두 개념을 분리해야하는 이유입니다. 임의의 합집합 대 셀 수있는 합집합, 유한 교차 대 셀 수있는 교집합의 폐쇄는 두 개념의 유일한 차이점으로보고 싶은 것이 아닙니다. 적어도 처음부터 매우 유사한 개념인데 두 개의 별도 시스템이있는 이유는 무엇입니까?
답변
토폴로지 및 $\sigma$-대수는 다른 목표를 염두에두고 설계되었습니다. $\sigma$-대수는 일반화 된 종류의 볼륨 측정 맵인 마디와 잘 어울리도록 설계되었습니다. 토폴로지는 "가까움"이라는 개념을 포착하도록 설계되었습니다.$x$ 세트에 가깝다 $S$? 모든 열린 이웃의 경우$x$ 교차 $S$. 시퀀스가 임의적으로 가까워지는시기$x$? 모든 열린 이웃의 경우$x$시퀀스의 포인트를 포함합니다. 그런 것. 따라서 처음에 토폴로지 및$\sigma$-대수가 다릅니다.
그러나! 좀 더 생각해 보면 직관적으로 포인트의 열린 이웃은 특정 볼륨을 가진 이웃이라는 것을 알 수 있습니다. 마치 열린 공을 주위에두면$x$, 볼륨이 0이 아닌 것을 알 수 있습니다. 과$\sigma$-대수는 부피 측정을 허용하도록 설계되었습니다. 따라서 모든 오픈 세트를 어떻게 든$\sigma$-대수학? 결국 이러한 세트에 볼륨을 할당하는 것이 유용 할 수 있습니다. 그리고 대답은 '예'입니다. 오픈 세트에 볼륨을 할당 할 수 있다면 많이 원합니다. 예를 들어, 연속 함수는 오픈 세트와 잘 어울리기 때문에 연속 함수가 볼륨과 잘 어울릴 수 있습니다. 이것이 바로 우리가 Borel 을 정의하는 이유입니다.$\sigma$-algebra : 주어진 토폴로지 공간$(X,\tau)$, 우리는 Borel을 정의합니다 $\sigma$-대수 $X$ 같이 $\mathcal B(X):=\sigma(\tau)$, 그것은 가장 작은 $\sigma$-모든 열린 하위 집합을 포함하는 대수 $X$, 볼륨을 가져야하는 모든 하위 집합입니다. 지금$(X,\mathcal B(X))$ 측정 값을 정의 할 수있는 측정 가능한 공간입니다. $\mu$각 오픈 세트에 볼륨을 할당합니다. 예를 들어이 접근 방식은 종종 Lebesgue 측정을 정의하는 데 사용됩니다. 우리는 각각의 오픈 세트를$\mathbb R^n$직관적으로 가져야하는 볼륨을 할당하고,이를 결합하고 교차하여 얻을 수있는 다른 모든 세트를 취하여 측정의 정의와 일치하는 볼륨을 할당합니다. (더 많은 측정 가능한 세트를 생성하는 외부 측정을 사용하는 "더 나은"접근 방식이 있지만이 방법이 더 간단합니다.)
그러나 Borel $\sigma$-대수는 하나의 특정 $\sigma$-우리가 원하는 대수. 다른 응용 프로그램의 경우 다른 응용 프로그램이 더 잘 작동 할 수 있습니다. 특히 기본 세트의 친밀감에 실제로 신경 쓰지 않는 경우 더욱 그렇습니다. 그렇다면 토폴로지가 필요하지 않습니다.$\sigma$-토폴로지가있는 대수?