Torricelli 포인트의 텐서 미적분 증명?
텐서 미적분에 관한 이 비디오 강의 에서 2시 36 분경 그는 길이 방향으로 바깥쪽으로 증가하는 기하학적 "길이 함수"의 기울기를 취합니다. 하지만 그래디언트가 있어야하는 방향을 이해하지 못합니까? 다른 점은 다른 그라디언트를 가지고 있습니까? 그리고 세 지점에서 함수를 정의하는 기술은 정확히 무엇입니까?
나는 그가 좌표를 사용하여 무엇을했는지를 다음과 같이 묘사하려고 구성하려고 생각했다.
3 점 $ A_1,A_2,A_3$
이제이 세 개의 고정 된 점에서 삼각형의 한 점을 $ (x,y)$
허락하다 $d(A_i(x,y))$ 우리의 목표는 다음을 최소화하는 것입니다.
$$ D(x,y) = \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y) )$$
우리는 양쪽의 기울기를 가지고 왼쪽을 0으로 설정한다고 가정하면,
$$ 0 = \nabla \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y)) $$
또는,
$$ 0 = \sum_{k=1}^{3} \nabla d(A_i (x,y) ) $$
그리고 세 개의 단위 벡터가 $ d(A_i (x,y))$0으로가는 것은 우리의 Torricelli 점입니다.하지만 그가 정점으로부터의 거리를 기반으로 함수를 어떻게 정의하는지 잘 모르겠습니다. 이것의 전문성은 정확히 무엇입니까?
또한 온라인에서 유사한 증거를 찾을 수 없습니다. 이것은 잘 문서화 된 증거가 아닙니까?
편집 : 좀 더 생각해 보면 더 복잡한 모양의 'Torricelli 포인트'를 찾기 위해 비슷한 방법을 사용할 수 있습니까? 같은 원칙으로 쉽게 할 수있을 것 같습니다.
예를 들어, 오각형의 'toricelli point'를 찾는 것은 아래와 같이 합이 0이되도록 5 개의 단위 벡터를 배열하는 방법을 찾는 문제로 줄어 듭니다. 더 나아가서, 일반적으로 0에 더해지는 배열을 어떻게 찾을 수 있을까요?
답변
많은 질문이 있습니다. 목록을 만들어 보겠습니다.
- "점마다 그라디언트가 다르나요?"
예, 그렇습니다. 함수의 기울기는 벡터 필드입니다. 즉, 벡터가 점마다 달라집니다.
- "하지만 그래디언트가 있어야하는 방향을 이해하지 못합니까?"
"정점으로부터의 거리를 기준으로 함수를 정의하는 방법을 잘 모르겠습니다. 이것의 기술은 정확히 무엇입니까?"
기하학적으로 그라디언트의 두 가지 속성이 있습니다.
a) 기울기는 함수의 가장 빠른 증가 방향을 가리 킵니다.
기능 "O까지의 거리"의 경우 일부 P에서 가장 빠르게 증가하는 방향 (1 부에 대한 답변에 따라 P가 달라짐에 따라 달라짐)은 "O에서 벗어나"광선 OP를 따라 이동하는 방향입니다. 다시 말하지만,이 방향은 우리가 P를 변화시키면서 변화합니다.
b) 그래디언트의 크기는 그래디언트 방향 (매우 작은 단계의 한계)에서 단계 당 함수의 변화입니다.
"O로부터의 거리"에 대해 이것이 말하는 것은 우리가 크기의 단계를 취할 때 "O로부터의 거리"가 얼마나 변하는 지 계산해야한다는 것입니다. $\Delta$레이 OP를 따라. 정답은$\Delta$. 단계 크기에 의한 함수 증가 비율은 1입니다. 따라서 기울기 벡터의 길이는 1입니다 (모든 P에 대해).
또는 다음과 같이 작성할 수 있습니다. $f(P)=|OP|$그라디언트를 가져옵니다. O가 (고정 된) 좌표를 가진 점이라고 가정합시다$(x_0, y_0)$ 과 $P$ 가변 좌표가 있습니다 $(x, y)$.
기울기를 계산하려면 $f(P)=f(x,y)=|OP|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ 우리는 제곱 거리가 거리보다 더 좋은 함수라는 사실을 사용합니다. $f^2(P)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$, 따라서 2 차 다항식). 그래서 우리는 체인 규칙을 사용합니다.$\nabla_P f^2(P)=2 f(P) \nabla_P f^2(P)$; 과$\nabla_P f^2(P)=(2(x-x_0), 2(y-y_0))=2 OP$. 함께하면$\nabla_P f(P)=\frac{OP}{|OP|}$, 일명 광선 OP를 따라 가리키는 단위 벡터, 위의 기하학적 추론에서 얻은 것과 동일합니다.
- "더 복잡한 모양의 'Torricelli 포인트'를 찾기 위해 유사한 방법을 사용할 수 있습니까?"
음, 'Torricelli 점'이 점에서 정점까지의 단위 벡터의 합이 0이되는 부분은 실제로 동일합니다. 문제는 3 개의 벡터에 대해 이것이 사실 일 수있는 유일한 방법은 모든 벡터 쌍 사이에 각도가 120이라는 것입니다. 따라서 Torricelli 점은이 "120도"속성을 가져야합니다. 더 많은 수의 벡터에 대해 합이 0이되는 단위 벡터의 가능한 구성은 무한히 많습니다. 따라서 "벡터의 합이 0"이라는 조건은 훨씬 덜 제한적입니다. 이 벡터가 P에서 다각형의 꼭지점을 가리키는 조건과 함께 사소한 방식으로 결합되어야합니다. 이 일을 어떻게 할 것인지는 나에게 즉시 명확하지 않습니다.
- "예를 들어, 오각형의 '토리 셀리 포인트'를 찾는 것은 아래 그림과 같이 합이 0이되도록 5 개의 단위 벡터를 배열하는 방법을 찾는 문제로 축소됩니다. 0으로? "
정확합니다. 5 개의 벡터에 대해 이러한 배열을 쉽게 생성 할 수 있습니다. 2 개의 단위 벡터를 합하면 0에서 2 사이의 임의의 방향으로 벡터를 얻을 수 있습니다. 이제 한쪽이있는 삼각형을 가져옵니다.$\vec{v}$ 크기가 1이고 크기가 0과 2 사이 인 다른 두 개는 단위 벡터 쌍을 합하여이 두 변을 만들고 마지막으로 다음과 같은 마지막 단위 벡터를 더합니다. $\vec{v}$. 5 개의 벡터의 전체 합은 삼각형을 구성하는 3 개의 벡터의 합이됩니다.$\vec{0}$.
이제이 유형의 임의 구성의 경우 점 P에서 5 개의 정점까지의 벡터가이 구성을 만드는 점 P를 찾을 수 없습니다. 따라서 이러한 방법을 사용하여 오각형의 "Torricelli 포인트"를 찾는 방법은 명확하지 않습니다.