투영을 사용한 브라운 운동의 조건부 기대

Nov 23 2020

그것을 가정 $W_s,W_t$ 표준 브라운 운동은 $s<t$. 다음 찾기$$E[W_s | W_t]=? $$힌트는 투영 방법을 사용하는 것입니다. 내가 올바르게 이해하면 투영에 의해 다음과 같은 속성이 있습니다.$$E[W_sZ]=E[YZ] $$ ...에 대한 $Y=E[W_s|W_t]$$Z$ 생성하는 동일한 여과 하에서 측정 가능한 임의의 변수입니다. $W_t$. 이 속성을 사용하고 진행하는 방법은 무엇입니까? 어떤 힌트라도 감사합니다.

추신 나는 여기에 주어진 해결책을 이해하지 못하며 투영 방법을 사용하는 것을 이해하고 싶습니다 (가능하다면).

답변

1 user6247850 Nov 23 2020 at 17:06

주요 아이디어는 우리가 $Y=\mathbb{E}[W_s | W_t] = \beta W_t$ 어디 $\beta$ (무작위) 상수이며 $s$$t$. 그런 다음 프로젝션 방법이 알려줍니다.$Z = W_t$) 그

\begin{align*} \mathbb{E}[W_s W_t] &= \mathbb{E}[Y W_t] \\ &= \beta \mathbb{E}[W_t^2]. \end{align*}

이제 우리는 알아 $\mathbb{E}[W_s W_t] = s$$\mathbb{E}[W_t^2]=t$, 따라서 방정식은 다음과 같이 단순화됩니다. $s = \beta t$ 따라서 $\beta = \frac st$. 따라서 우리는$\mathbb{E}[W_s | W_t] = \beta W_t = \frac st W_t$.