의 예 $f \in K[x]$ 라디칼에 의해 풀 수 있지만 계수로만 표현할 수없는 뿌리를 가짐 $f$ 및 +,-, *, /, $\sqrt[n]{…}$
비고 : 언뜻보기에는 Example of$f \in K[x]$ 라디칼에 의해 풀 수 있지만 계수 만 사용하여 표현할 수없는 뿌리를 가짐 $f$, $+,-,\cdot,\frac{..}{..}$하지만 그렇지 않습니다. 나는 그 질문에서 간과했다-나는 지정하는 것을 잊었다$\sqrt[n]{...}$ 표현식에서 사용할 수있는 연산으로.
아래 정의는 라디칼에 의한 용해성 에서 가져온 것입니다 ( Eparoh의 질문).
정의 1 : 우리는 필드 확장이$F/K$ 필드 체인을 형성 할 수 있다면 근본적인 확장입니다. $$K=K_0 \leq K_1 \leq \cdots \leq K_n=F$$ 어디 $K_{i+1}/K_i$ 다음과 같은 간단한 확장입니다. $K_{i+1}=K_i(a_i)$ 과 $a_i^{k_i} \in K_i$ 일부 양의 정수 $k_i$.
정의 2 : Let$K$ 필드이고 $f(x) \in K[x]$, 우리는 말한다 $f$ 라디칼 확장이 존재하면 라디칼에 의해 용해 가능 $F/K$ 그런 $F$ 분할 필드 포함 $f$ 위에 $K$.
이 질문에는 답이 없지만 reuns의 의견이 있습니다.
뿌리에 대한 라디칼 공식은 상수에 따라 다릅니다. $K$, 일단 다항식이 고정되면 이것이 우리가 원하는 전부입니다 (분할 필드 최소 다항식 및 Galois 그룹에 대한 알고리즘이 있으며 풀 수있는 경우 우리는 급진적 공식을 찾을 수 있습니다). 당신이 묻는 것은 급진적 공식이 유한하게 많이 있는지$F_{d,l}$ 의 $d+1$ 모든 풀이 가능한 다항식에 대해 $∑_{j=0}^{d} c_j x_j \in K[x]$ 정도 $d$ 그 뿌리는 $F_{d,l}(c_0,…,c_d)$ 일부 $l$. 이것은 모듈 리 공간 / 차수의 풀 수있는 다항식의 매개 변수화 문제입니다.$d$.
허락하다 $K$필드가 되십시오. 예를 들어 줄 수 있습니까?$f \in K[x]$ 라디칼로 풀 수 있지만 다항식 계수만으로 표현할 수 없습니다. $+, -, \cdot, \frac{...}{...}$ 자연의 뿌리를 내리는 작업 ($N_+$) 학위와이 사실의 증거?
내가 위에서 인용 한 주석을 이해하면 그러한 다항식과 뿌리가 존재합니다. 나는 링크 된 포스트에서 정확히 질문에 대한 답을 찾기 위해 긴 탐구 끝에이 질문을한다. 나는 문학에서 그러한 다항식과 뿌리의 예를 어디서 찾아야할지 모릅니다. 원래 질문에 대한 답을 찾는 것은 그 자체로 힘들었습니다. 나는 "moduli space / parametrization of solvable polynomials"에 대해 구글을 시도해 보았다. 단지 그것이 제기 된 문제와 관련된 정보를 반환 할 것이라는 희망이 거의 없지만 운은 없다 (물론 직접적으로 관련된 것이 아니기 때문에 예상 할 수있다).
인용 된 의견을 정확히 이해하지는 못하지만 의문을 해결하기 위해 또 다른 질문을 할 것 같습니다.
편집 1 : 응답자가 내 질문의 요점 인 암시 적 가정을하는 것처럼 보이기 때문에 이것을 추가했습니다. 제가 묻고있는 것은$f \in K[x]$그것은 라디칼로 풀 수 있지만 다항식 계수 만을 사용하여 표현할 수 없습니다 .$+,−,\cdot,$ 자연의 뿌리를 내리는 작업 ($N_+$)도. 즉, 이 형식으로 표현할 수없는 K의 멤버를 사용하는 것은 허용되지 않습니다 . 내가 정의를 내린 질문은 매우 유사한 질문을 던지지 만 그러한 구체적인 예를 요구하지 않는 것과 같지는 않습니다. 나는 동창회 의견을 정확히 이해하지 못하고 그것이 옳은지 의구심이 있습니다 (제가 정의한 질문을 참조하십시오.이 토론에 도움이 될 것 같습니다) 하지만 내가 아는 한, 내가 나열한 가정이 만족된다면 K의 구성원 만을 사용하여 뿌리를 표현하는 것이 항상 가능하다고 말한다 .$+, -, \cdot, \frac{...}{...}$ 자연의 뿌리를 내리는 작업 ($N_+$)도, 반드시 다항식 계수 일 필요는 없습니다 .$+, -, \cdot, \frac{...}{...}$ 자연의 뿌리를 내리는 작업 ($N_+$)도.
답변
나는 이것이 언어의 혼란에 더 가깝다고 생각합니다. 만약$f(x) \in K[x] $ 특정 다항식이고 다음의 계수는 $f$ 의 특정 구성원입니다 $K$.
그리고 뿌리에 대한 공식이 있다면 $f$ 일부 구성원의 조합을 포함 $K$ 같은 작업과 함께 $+, -, \times, /, \sqrt[n] {. } $ 다음 계수 $f$ 그들 자신이 $K$공식에서 시각적으로 찾을 수 없습니다. 의 모든 구성원$K$ 예를 들어 주어진 수의 구성원의 조합으로 쉽게 작성할 수 있습니다. $K$ 현장 작업 만 사용합니다.
아마도 계수가 리터럴 인 예를 생각하려고 할 것입니다. $x^2+ax+b$ 과 $K=\mathbb{Q} $, 그러나 이것은 다시 잘못되었습니다. 이 경우 필드는$K=\mathbb{C} (a, b) $.
그런 다음 리터럴 다항식이 있다고 가정하겠습니다. $$f(x)= x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n$$ 필드 위에 $K=\mathbb{C} (a_1,a_2,\dots,a_n)$. 만약$f$ 라디칼에 의해 풀 수 있습니다. $K$ 근에 대한 공식은 산술 연산과 (필요한 경우 중첩 된) 근을 포함합니다. $K$ 그리고 그것은 문자 그대로의 계수를 포함합니다 $f$ 그들이 무엇이기 때문에 $K$로 이루어져 있습니다. 이것은 풀 수있는 것으로 알려진 2 차 또는 3 차 방정식의 경우 쉽게 볼 수 있습니다.
따라서 사용 가능한 공식이있는 경우 계수는 항상 근에 대한 공식을 입력합니다.
또한 문자 적 계수를 가진 다항식은 계수 필드에서 풀 수 있다는 잘 알려진 사실 (Galois 이전에 Abel에 의해 확립 됨)에 유의하십시오.$K=\mathbb{C} (a_1,a_2,\dots,a_n)$) 경우에만 $n<5$.
당신이 찾고있는 그러한 예를 요약하면 존재하지 않습니다.
나는 reuns에 의해 코멘트의 의미를 분별하려고 노력했고 그것은 그의 Abstract Algebra 에서 Dummit과 Foote에 의해 주어진 풀이 가능한 5 인조의 처리와 관련이있는 것으로 보인다 .
그들은 주어진 퀸틱인지 여부를 확인하는 기준을 설명합니다. $$f(x) =x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\in\mathbb{Q}[x]$$ 해결 가능하다 $\mathbb{C} $. 아이디어는 다음에서 6 차의 복잡한 다항식을 형성하는 것입니다.$\mathbb{Q} [x] $ 계수를 사용하여 만든 계수 $f$ 합리적 뿌리가 있는지 확인합니다.
그리고 위에서 언급 한 6 차 다항식이 유리 근을 가지고 있다면 $f$ 라디칼에 의해 풀 수 있습니다. $\mathbb{C} $. 다음의 요소를 기반으로하는 근에 대한 공식이 있는지 확인하고 싶을 것입니다 (이 경우).$K=\mathbb {C} (a, b, c, d, e) $. 그런 공식이 있다고 생각하지만 확실하지 않습니다.
일반적으로 다항식의 해결 가능성 문제를 고려할 때 $f(x) \in K[x] $, 필드 $K$ 계수를 포함하는 가장 작은 필드입니다. $f$. 이 경우 다항식이$K$ 근은 다음의 계수로 표현 될 수 있습니다. $f$ 산술 연산과 근호를 통해.
분야 확대 $K$ 일부 확장으로 $L$ 해결 가능성 확인 $L$ 문제를 더 간단하게 만듭니다 ( $L$ 분야를 분할하고 있습니다 $f$).
또한 우리가 시나리오를 고려한다면 $f(x) \in K[x] $ 라디칼에 의해 풀 수 있습니다. $K$ 과 $F\subset K$ 의 해결 가능성 문제를 조사하는 데 필요한 계수를 포함하는 가장 작은 필드입니다. $f$ 위에 $F$ 개별적으로 그리고 하나의 해결 가능성에서 아무것도 추론 할 수 없습니다. $K$.
따라서 귀하의 문제는 계수 필드에 대해 해결 가능성을 확인한 다음 (앞에서 말한 것을 반복하기 위해) 원하는 종류의 예가 존재하지 않는 일반적인 설정에서만 의미가 있습니다.