USAMO 문제 힌트.

Question

모든 양의 정수 n에 대해 5로 나눌 수있는 n 자리 숫자가 있음을 증명하십시오.$^n$모든 숫자가 홀수입니다.
USAMO 2003.

이런 문제를 본 것은 이번이 처음이어서 무엇을 해야할지, 유도, 시공, 작은 케이스 확인, 모순이 내가 시도한 것들 중 일부입니다.

어디에서나 쉽게 해결책을 찾을 수 있다는 것을 알고 있지만 해결책을보고 싶지 않으므로 힌트 를 제공하십시오 .

솔루션을 게시했습니다 https://math.stackexchange.com/questions/3918561/usamo-problem-solution 여기에서 확인하십시오.

제발 하지 않는 완전한 솔루션을 제공, 어떤 힌트를 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

힌트 : lulu의 의견에 따라 숫자를 형성했다고 가정 해 보겠습니다. $N$ 와 $n-1$ 다음으로 나눌 수있는 홀수 $5^{n-1}$. 이 숫자를 다음과 같이 쓰자.$N = p\cdot5^{n-1}$. 그런 다음 홀수를 찾고 싶습니다.$a$ 그런 $a\cdot10^{n-1}+ p\cdot5^{n-1} = k\cdot5^n$ 일부 정수 $k > 0$. 이것은 사실입니다$5 | (a\cdot2^{n-1}+p)$. 쓰기$a = 2m+1$, 우리가 항상 찾을 수 있다는 것을 증명할 수 있습니까? $m$? 또한$m$ 모드입니다 $5$, 따라서 $a$ 숫자입니다.

기본 사례는 분명합니다.