USATST 2013/2의 교차점 증명 $XL$ 과 $KY$ 거짓말 $BC$.

Question

허락하다 $ABC$예각 삼각형이어야합니다. 원$\omega_1$, 직경 포함 $AC$, 측면 교차 $BC$ ...에서 $F$ (이것 말고도 $C$). 원$\omega_2$, 직경 포함 $BC$, 측면 교차 $AC$ ...에서 $E$ (이것 말고도 $C$). 레이$AF$ 교차 $\omega_2$ ...에서 $K$ 과 $M$ 와 $AK < AM$. 레이$BE$ 교차 $\omega_1$ ...에서 $L$ 과 $N$ 와 $BL < BN$. 그 라인을 증명$AB$, $ML$, $NK$ 동시 다

내 진행 :

주장 :$K,M,L,N$ 순환 적이다

증명 : Let$NM\cap KL=H$. 참고$H$ 의 orthocenter가 될 것입니다 $ABC$ .

POP로 $NH\cdot HM= CH\cdot CF=KH\cdot HL$.

주장 :$C$ 의 중심입니다 $(KMLN)$

증명 : 이후$CA$ 직경, 우리는 수직 이등분으로 CA가 있습니다 $LN$ .

비슷하게 $CB$ 수직 이등분 $KM$ .

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이제 AB가 극지임을 보여주고 싶습니다. $H$ wrt $(KLMN)$. 그런 다음 Brocard의 정리에 의해$NK\cap LM \in AB $.

Answer 1

극의 극을 보여주는 것으로 충분합니다. $H$ 통과하다 $A$ 만큼 잘 $B$. 대칭에 의해$H$ 통과하다 $A$ 또는 동등하게 $A$ 통과하다 $H$.

당신은 극지방을 알고 $A$ 에 수직이다 $AC$

그것을 관찰하십시오 $$AC.AE=AK.AM= AC^2-r^2$$ 어디 $r$ 원의 반경 $KLMN$.

이것을 다음과 같이 다시 작성 $$AC^2-r^2= AC.(AC-EC)$$ $$ \implies AC.EC=r^2$$

따라서 극지 $A$ wrt $KLMN$ 에 수직선입니다 $AC$ 그리고 통과 $E$. 즉, 라인입니다$BE$ 따라서 통과 $H$.

참고 : 질문의 레이블과 다이어그램의 레이블간에 약간의 차이가있을 수 있습니다. 내 대답은 다이어그램의 레이블을 따릅니다.