Vieta의 공식을 올바르게 수행하고 있습니까?
이 연습을 받았습니다. $x^2 - (m+3)x + m + 2$, 매개 변수의 실제 값을 확인해야합니다. $m$ 이 작업에 사용할 수 있습니다.
$1/x_1 + 1/x_2 > 1/2$ (양쪽에 2x1x2를 곱합니다) 다음을 얻습니다.
$2(x_1 + x_2) -x_1x_2 > 0$
결과 $m > -4$ Vieta의 공식 사용
나중에 또 다른 논쟁이 있습니다. $x_1^2 + x_2^2 < 5$
해결 후 나는 그것을 얻습니다 $m$ 간격에있다 $(-4,0)$
내 책은 가능한 최종 결과를 알려줍니다. $M$ 솔루션은 간격에 있습니다 $(-2,0)$.
내가 도대체 뭘 잘못하고있는 겁니까?
답변
곱할 수 없습니다 $x_1x_2$ 양수인지 음수인지 알 수 없기 때문입니다 (불균등의 부호는 음수이면 교체해야하고 그렇지 않으면 동일하게 유지해야합니다).
Viete의 공식이 말하는 것을 기억하십시오. $x_1+x_2 = m+3$ 그리고 그 $x_1x_2 = m+2$. 왼쪽을 단순화하면 다음을 사용할 수 있습니다.$$\frac 1{x_1} + \frac1{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{m+3}{m+2},$$ 그래서 당신은 $m$ 그런 $$\frac{m+3}{m+2}>\frac12.$$ 우리는 전체적으로 곱할 수 없습니다 $m+2$우리는 그 표시를 모르기 때문에. 우리는 곱할 수 있습니다$(m+2)^2$, 이것은 확실히 음수가 아닙니다. 이것은 우리에게$$(m+3)(m+2)>\frac12(m+2)^2$$ 단순화하는 $$(m+2)(m+4)>0.$$ 두 숫자의 곱은 $>0$ 둘 다라면 $>0$, 또는 둘 다 $<0$.
첫 번째 경우 ( $m+2$ 과 $m+4$ 둘 다 긍정적 임), 우리는 $m>-2$ 과 $m>-4$, 이는 단순히 $m>-2$.
두 번째 경우 (둘 다 음수 일 때), 우리는 $m<-2$ 과 $m<-4$라고 말하는 것과 같습니다. $m<-4$.
요약하자면, 당신의 상태는 $$\boxed{\text{$m <-4$ or $m> -2$}}.$$
부등식에서는 기호에 대해 확실하지 않은 경우 일반적으로 분수를 결합하는 것이 좋습니다. 여기 와 여기를 참조 하십시오 .
지금 $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > \frac 12 \iff \frac{2x_2+2x_1-x_1 x_2}{2x_1 x_2} >0 \\ \iff \frac{2(m+3)-m-2}{2(m+2)} = \frac{m+4}{2(m+2)}>0 \iff (m+2)(m+4) > 0 \\\iff m \in (-\infty, -4)\cup (-2, \infty)$$ 과 $$x_1^2+x_2^2 < 5 \iff (x_1+x_2)^2-2x_1 x_2 < 5 \\\iff (m+3)^2-2(m+2)-5 = m(m+4) < 0\\ \iff -4<m<0 $$
따라서 $-2<m<0$.