왜 숫자가 $\mathbb{F}_q$ 학위 점수 $d$ 곡선 $C\subset \mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^n$ 감소 $n$ 증가?
이 질문은 유한 장에 대한 투영 곡선의 점 수와 관련하여 (적어도 나에게는) 직관에 반하는 결과와 관련이 있습니다. 즉, 곡선의 정도는 고정하지만 주변 투영 공간의 크기를 늘리면 개수에 대한 경계가 더 좁아 질 수 있습니다.$\mathbb{F}_q$ 더 많은 수의 $\mathbb{F}_q$주변 공간의 점. 두 가지 예를 들어 좀 더 정확하게 설명하겠습니다.
허락하다 $C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$ 차수의 사영 곡선 $d$. 가정$C$ 더 작은 투영 공간에 포함되지 않는다는 점에서 퇴화되지 않습니다. $\mathbb{P}^k_{\mathbb{F}_q}$, $k<n$.
Homma의 작업 (Homma와 Kim의 확장 작업)은 $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-1)q+1, $$ (동형까지) 한 가지 예외가 있습니다. $\mathbb{F}_4$. 이것은 소위 Sziklai 바운드이며$n=2$.
이 경계는 $n>2$; 최근 Beelen과 Montanucci는$C\subset \mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$ 실제로는 퇴화되지 않습니다. $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-2)q+1. $$ 그들은 다음과 같은 경우보다 더 추측합니다. $C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$, 일반 경계는 $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-n+1)q+1. $$
이것은 Bucur와 Kedlaya의 작업에서 발생하는 현상을 연상시킵니다. 예 : 임의의 부드러운 곡선$\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_q}$ 가질 것으로 예상됩니다 $$q+1$$ 포인트 $\mathbb{F}_q$그 정도가 무한대로 커짐에 따라. 두 평활도의 임의의 완전한 교차점$d$ 표면 $\mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$ 가질 것으로 예상됩니다 $$ q+1 - \frac{q^{-2}(1+q^{-1})}{1+q^{-2}-q^{-5}} < q+1 $$ 포인트 $\mathbb{F}_q$, 다시 $d\to\infty$.
이러한 결과는 주변 투영 공간의 포인트 수가 (기하 급수적으로) 증가함에 따라 직관적이지 않습니다. $n$그렇기 때문에 특히 커브가 갖는 것이 더 쉬울 것 같습니다.$\mathbb{F}_q$더 큰 투영 공간에 삽입 될 때 포인트. 그 반대가 사실이어야하는 이유에 대한 직관이있는 사람이 있습니까?
참고 문헌 :
Beelen과 Montanucci : 유한 필드에 대한 공간 곡선의 점 수에 대한 경계
Bucur와 Kedlaya : 완전한 교차가 부드러울 확률
Homma : 유한 한 장에 걸쳐 투영 공간에서 곡선의 점 수에 대한 경계
답변
직관을 얻는 한 가지 방법은 (약한) 조합 경계를 보는 것입니다. 퇴화되지 않는 곡선이 있다고 가정합니다.$C$ 일부 투영 공간에서 $\mathbb P^n$. 그게$L$ 동일 차원의 부분 공간 $2$ 에 $\mathbb P$ 그리고 그 $|C\cap L|=m$. 차원이 높을수록$n$ 더 높은 값을 선택할 수 있습니다. $m$. 실제로 우리는 항상 최소한$n-1$ 포인트 $C$ 에 걸쳐 $\mathbb P^{n-2}$.
Bezout은 모든 초평면에 대해 $H$ 포함하는 $L$, 포인트 수 $C$ 그 거짓말 $H$ 그리고 거짓말하지 마십시오 $L$ 기껏해야 $d-m$. 그러한 초평면의 수는$q+1$, 차원에 관계없이 우리는 $|C|-m\le (q+1)(d-m)$ 또는 동등하게 용어 재 배열에서 $$|C|\le (d-m)q+d.$$ 에 대한 $m=n-1$ 이것은 경계를 준다 $|C|\le (d-n+1)q+d$ 모든 비 변성 곡선에 대해 $C$. 물론 이것은 당신이 포스트에서 언급 한 추측과 정리보다 약하지만 (1) Sziklai 경계를 위반하는 곡선을 포함한 모든 곡선에 대해 사실입니다.$n$ 상승".