왜 $x(t)$ 주기적이지 않지만 $x[n]$ 입니까?

Question

나는 신호와 시스템을 연구 해왔고이 문제를 발견했습니다.

정의상 $x(t)$ 연속 시간 신호를 나타내고 $x[n]$ 이산 시간 신호를 나타냅니다.

$x(t)$ 상수가 있으면 주기적입니다. $T>0$ 그런 $x(t) = x(t+T)$ 모든 $t$ 실수의 하위 집합입니다.

$x[n]$ 상수가 있으면 주기적입니다. $N>0$ 그런 $x[n] = x[n+N]$ 모든 $n$ 정수의 하위 집합입니다.

그런 다음이 질문을 보았습니다. $x(t)$ 비 주기적?

$x(t) = \cos((\pi t^2)/8)$

내가 만든 작업은 다음과 같습니다.

$x(t+T) = \cos((\pi(t+T)^2)/8$

취하다 $x(t) = x(t+T)$

즉 $(\pi t^2)/8 + 2\pi k = (\pi(t+T)^2)/8$

$\Rightarrow t^2 + 16k = (t+T)^2 \Rightarrow 16k = T^2 + 2tT $

고려하면 $k$정수입니다. 주기적이지 않습니까? 내 계산이 잘못된 경우 알려주십시오.

관련없는 주제를 게시하는 경우 사과 드리며 귀하의 의견에 감사드립니다.

Answer 1

다음을 표시했습니다 * :

만약 $x(t)$ 주기적이며 일부 $T>0$ 그런 $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ 모든 실수에 대한 정수입니다. $t$.

* 편집 : 주석에서 @SHW가 지적했듯이 이것은 사실이 아닙니다. 오히려

$x(t)$ 일부가있는 경우에만 주기적입니다. $T > 0$ 적어도 하나의 $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ 또는 $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16}$ 모든 실수에 대한 정수입니다. $t.$

이후 $T \neq 0$, 약간의 $t$ 이러한 식 중 어느 것도 정수를 산출하지 않도록 $x(t)$ 주기적이지 않습니다.

이를 증명하기 위해 각 정수에 대해 $k$, 독특한 진짜가 있습니다 $t$ 그런 $\dfrac{T^2+2tT}{16} = k$ 그리고 최대 2 개의 실수 $t$ 그런 $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16} = k.$ 엄청나게 많은 정수가 있기 때문에 엄청나게 많은 $t$ 적어도 하나의 $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ 또는 $\dfrac{T^2+2tT+2t^2}{16}$정수입니다. 셀 수 없을만큼 많은 실수가 있으므로 실수가 있어야합니다.$t$ 어느 식도 정수를 산출하지 않도록합니다.

위에서 언급했듯이 이것은 $x(t)$ 주기적이지 않습니다.

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반면에 예를 들어 설정할 수 있습니다. $T=8$ 그것을보기 위해 $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ 항상 정수입니다. $t$ 정수입니다. $x[n]$ 주기적입니다.

Answer 2

허락하다 $x(t) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$. 만약$x(t)$ 주기적이다 $T$ 다음 존재 $T \gt 0$ 그런 $x(t) = x(t+T)$ 모든 $t \in \mathbb{R}$. 그래서이 경우 우리는$$\cos(\frac{\pi (t+T)^2}{8}) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$$만약 $t = 0$ 그때 $\cos(\frac{\pi T^2}{8}) = 1$. 양쪽을 구별하고하자$t = 0$ 우리는 $$ T\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$$ 그 뜻은 $T = 0$ 또는 $\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. 첫 번째 경우는 허용되지 않으므로 결론을 내립니다.$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. 두 번 미분하면$t = 0$ 그때 $$-\frac{\pi}{16} (4 \sin(\frac{\pi T^2}{8}) + \pi T^2 \cos(\frac{\pi T^2}{8})) = 0$$ 결과를 결합하면 $T = 0$ 에 따라 허용되지 않는 $T \gt 0$. 여기에서 차별화를 사용하는 동기는$\frac{d}{dt}\cos(u(t)) = -u'(t)\sin(u(t))$ 우리가 얻는 데 도움이 $T$ 밖으로 $\cos$기능하고 모순에 도달합니다. 물론 Brian의 대답은 훨씬 더 우아하고 미분 계산이 필요하지 않습니다.