원의 다항식에 대한 통합이 잘 정의되어 있습니까?

Aug 19 2020

잘 정의 된지도가 있는지 확인하고 싶습니다. $$\int_0^\theta\text{d}\theta:\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}\rightarrow\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}.$$나는 대수 기하학에 대한 연구를 시작하고 있는데, 나는이 수수께끼를 발견했습니다. 이것은 원의 다항식에 대한 다른 포스트 극좌표 와 관련이 있습니다.

극좌표로 들어 가려고했는데 형태의 적분에 대한 간단한 표현이 없습니다 $$\int_0^\theta \text{d}\theta\,\cos(\theta)^n\sin(\theta)^m.$$ 반면에 복잡한 좌표에서는 $$\int_\mathcal{C}\text{d}z\,z^n\bar{z}^m=\begin{cases}i r^{n+m}\theta, & 1+n-m=0\\ \frac{z^{n+1/2}\bar{z}^{m-1/2}-(z\bar{z})^{(n+m)/2}}{1+n+m},&\text{otherwise.}\end{cases}$$ 여기에서 $\mathcal{C}$ 반지름 원의 호입니다. $r$ 중에서 $0$$\theta$. 따라서$\mathbb{C}[z,\bar{z}]$이것은 잘 정의되지 않은 것 같습니다. 예를 들어$1+n-m=0$ 함수도 생성하지 않습니다.

답변

IvánMauricioBurbano Aug 19 2020 at 05:01

적어도 일부 다항식에서 잘 정의 된 연산자를 유도합니다. 핵심은 내가 극좌표 계산을 잘못했다는 것입니다. 관련 계산은 다음과 같습니다.$$\int_0^\theta\text{d}\theta\,z^n\bar{z}^m=\frac{z^n\bar{z}^m}{i(n-m)}\in\mathbb{C}[z,\bar{z}],$$ 하는 한 $n\neq m$. 복소수의 실수 부분을 취하는 것은 선형이고 모든 실수 다항식은 복소수의 실수 부분을 취함으로써 얻을 수 있기 때문에 우리가 필요로하는 것을 증명합니다. 문제$n\neq m$ 위의 계산에서는 원에서 다항식이 $z^n\bar{z}^n$ 다음과 같은 등가 클래스에 있습니다. $1$.