약한 * 수렴 vs 강하게 수렴.

Question

Kreyszig에서 다음 정의를 읽었습니다.

$\textbf{Definition:}$ 허락하다 $X,Y$ 표준 공간 및 $T_n:X \rightarrow Y$제한된 선형 연산자의 시퀀스. 우리는 말한다$T_n$ 강하게 수렴 $T:X\rightarrow Y$ 만약

$$ \Vert T_n(x)- T(x) \Vert \to 0 , \forall x\in X $$

$\textbf{Definition:}$ 허락하다 $X$ 규범 적 공간과 $f_n \in X'$시퀀스. 우리는 말한다$f_n$ 약하게 수렴 * 존재하는 경우 $f\in X'$ 그런

$$ \vert f_n(x) - f(x) \vert \to 0, \forall x\in X $$

첫 번째 경우에는 $T$ 제한되지 않을 수 있습니다. $X$완전하지 않습니다. 놓다$Y=\mathbb{R}$ 정의는 두 번째에서 그들이 말하는 것을 제외하고는 거의 동일합니다. $f$ 처음에는 연속적이지 않아야합니다.

저의 의심은 저자가 선형 함수로 작업하는 경우 첫 번째 정의가 두 번째 정의와 일치한다고 언급했기 때문에 발생하지만 동일하지 않다고 생각합니다.

페이지 참조. 266 of Kreyszig : 응용 프로그램을 사용한 입문 기능 분석.

Answer 1

두 정의는 다음과 같은 경우 동일하지 않습니다. $Y=\mathbb C$ 과 $X$완전하지 않습니다. 허락하다$X$ 삼각 다항식의 공간 $[0,2\pi]$ 와 더불어 $L^2$-표준, 그리고 $f_n:X\to\mathbb C$ 선형 확장으로 정의 $$f_n(e^{ikx})=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text{if }|k|\leq n,\\ 0 & \text{otherwise.} \end{array}\right.$$ 그런 다음 시퀀스 $\{f_n\}$ 에 $X^*$ 무한한 기능에 강하게 수렴하므로 약한 수렴 할 수 없습니다.$^*$ 제한된 기능에.