야심 찬 이항 계수 합계

Question

나는 계산하는 방법을 물었다$$\sum_{i = 0}^b(-1)^i\binom{b}{i}\binom{a+b-i-1}{a-i}$$놀라운 답변을 얻었습니다. 그러나 조금 후에 좀 더 복잡한 것이 필요하다고 생각했습니다.$$\sum_{i = 0}^k(-1)^i\binom{b}{i}\binom{a+b-i-1}{a-i},$$ 어디 $k$ 다음 사이의 정수일 수 있습니다. $0$ 과 $b$. 그것에 대한 닫힌 공식이 있습니까?

Answer 1

WolframAlpha는 그것이 $$\frac{(-1)^{k + 1} (k + 1) (-a - b + k + 1) \binom{b}{k + 1} \binom{a + b - k - 2}{a - k - 1}}{a b},$$ 그리고 당신은 흡수 할 수 있습니다 $k+1$ 과 $b$, 항복 $$\frac{(-1)^{k+1} (-a - b + k + 1) \binom{b-1}{k} \binom{a + b - k - 2}{a - k - 1}}{a}.$$ 좀 더 간단합니다. $$\frac{(-1)^k b \binom{b-1}{k} \binom{a + b - k - 1}{b}}{a}.$$