역에 대한 오류 경계.

Question

가정 $f(x) = x^p + $더 낮은 주문 조건. 그런 다음 점근 적으로$f^{-1}(x) \sim x^{\frac{1}{p}} $ 큰 $|x|$. 이 점근 적 근사에서 오류를 어떻게 제한 할 수 있습니까?$|x|$

Answer 1

$f^{-1}(f(x))$ 되어야한다 $x$. 다른 종류의 오류를 볼 수 있습니다. 가장 간단한 두 가지는 절대 차이와 상대적 차이입니다. $$E_1(x) = x- f^{-1}(f(x)),\qquad E_2(x) = 1- \frac{f^{-1}(f(x))}{x}$$ 무한대에서 오류의 점근 적 확장을 찾으려면 다음을 살펴 봐야합니다. $E(1/x)$ ...에 대한 $x$ 가까운 $0$. 그런 다음 Taylor 확장을 할 수 있습니다. 우리가 사용하면 더 좋습니다.$E_2$: $$E_2(1/x)=1-x\sqrt[p]{\frac1{x^p}+\sum_{k<p} a_k\frac1{x^k}}=1-\sqrt[p]{1+\sum_{k<p}a_kx^{p-k}}$$ 여기 $a_k$ 계수는 $f(x) = x^p + \sum_{k<p} a_k x^k$. 이 용어는$0$ ...에서 $x=0$, 1 차 도함수는 쉽게 유도 할 수있는 일부 함수입니다. 에서$0$ 미분은 다음과 같이 평가됩니다. $$-\frac1p a_{p-1}$$ 그래서 당신은 $$E_2(1/x) = 0 -\frac{a_{p-1}}{px} + O(\frac1{x^2})$$ 이런 식으로 계속하십시오.