역 라플라스 변환 구하기 $\frac{s}{(s+1)^3}$ 반전 공식 사용

Aug 18 2020

라플라스의 역변환을 찾아야합니다. $$F(s) = \frac{s}{(s+1)^3}$$Bromwich Integral을 사용합니다. 브롬 위치의 윤곽과 같은 모양 이 .

실제로 다음 링크에서이 문제를 볼 수 있습니다. https://youtu.be/cXjbPsc-Z5w. 왜 우리가 적분을 보여야하는지 알고 싶습니다.$L_u$, $C_R$, $L_D$ 이다 $0$? 내 말은, 나는 몇몇 책 (물리학자를위한 수학적인 방법, 3 판 등)에서 많은 예를 보았습니다. 라플라스 변환의 반전을 해결하기 위해 단순한 극점에 잔류 물을 보여 주면됩니다.

따라서이 경우 다음과 같아야합니다.

$$\begin{align} \mathcal{L}\bigg\{\frac{s}{(s+1)^3}\bigg\} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{se^{st}}{(s+1)^3} \Bbb ds \\ &= \mathrm{Res}_{s=-1} \left(\frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right) \\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} \frac{\Bbb d^2}{\Bbb ds^2} \left[(s+1)^3 \frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right]\\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} te^{st}(2+st)\\ &= te^{-t} \left(1-\frac t2\right) \end{align}$$

왜 우리가 적분을 보여야하는지 설명해 주시겠습니까? $L_u$, $C_R$, $L_D$ 이다 $0$ (주어진 링크를 기반으로 함) 잔차 이론이 적분을 평가하여 역 라플라스 변환을 찾기에 충분하다면 $F(s)$?

당신이 나에게 설명 할 수 있기를 바랍니다. 나는 이것에 대해 더 많이 배우고 싶지만이 질문에 관해서는 여전히 혼란 스럽습니다. 감사합니다!

답변

2 MarkViola Aug 18 2020 at 20:29

잔류 정리 의 확장 코시의 적분 정리 . 두 정리는 간단한 연결된 도메인 내에서 수정 가능한 폐곡선으로 시작됩니다.$\mathbb{C}$.

역 라플라스 변환 $F(s)$, $f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F\}(t)$는 다음과 같이 표현됩니다.

$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s) e^{st}\,ds\tag1$$

어디 $c$ 모든 특이점보다 큰 실수입니다. $F(s)$.

잔차 정리를 적용하기 위해 다음의 적분을 평가합니다. $F(s)e^{st}$폐쇄되고 수정 가능한 곡선 위에. 그래서 우리는 분석을 시작하고

$$\begin{align} \oint_C F(s)e^{st}\,ds&=\oint_{L_R+L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\\\\ &=\int_{L_R}F(s)e^{st\,ds}+\int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\tag2 \end{align}$$

OP의 특정 질문을 감안할 때 우리는 여기서 유일한 특이점이라고 가정합니다. $F(s)$극 특이점입니다. 만약$F(s)$ 분기점 특이점이있는 경우 브롬 위치 경로를 닫아 분기점과 해당 분기 절단이 닫힌 윤곽선 내에서 제외됩니다.

모든 $N$ 극의 수 $F(s)$ 닫힌 윤곽선 안에 있습니다. $C$ 그리고의 위치를 나타냅니다 $n$'th pole by $s_n$, 어디 $n=1,2\cdots N$. 그런 다음 잔차 정리에서

$$\oint_{C}F(s)e^{st}\,ds=2\pi i \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s)e^{st}, s=s_n\right)\tag3$$

또한 $R\to \infty$, 오른쪽에있는 첫 번째 적분 $(2)$ 구혼 $2\pi i f(t)$ 표현대로 $(1)$. 따라서 적분이$L_u+C_R+L_d$ 사라진다 $R\to \infty$, 다음 동등에서 $(2)$ 과 $(3)$, 우리는