연결된 매끄러운 매니 폴드의 고정 방향 $\mathbb{R}^n$ 단일 차트로
저는 Zorich, Mathematical Analysis II, 1st ed에서 공부하고 있습니다. pag. 174-175. 부드러운 k- 차원 표면에 대해 방향 (등가 클래스)을 정의하는 방법을 올바르게 설명한 후$\mathbb {R} ^ n$ 단일 맵으로 설명 할 수있는 경우 다음의 의미를 정의하여보다 일반적인 경우로 이동하십시오.
- 일관된 차트,
- 아틀라스 방향 지정,
- 아틀라스 방향을위한 등가 클래스 (표면의 가능한 방향).
이를 수행 한 후 그는 연결된 매끄러운 k 차원 표면이 두 가지 가능한 방향 만 가질 수 있다는 증거없이 말합니다. 이 진술에서 그는 이러한 유형의 표면에 방향을 고정하기 위해 일관된 차트의 전체 아틀라스를 표시 할 필요는 없지만 단일 차트를 표시하는 것으로 충분하다고 즉시 추론합니다.
이유를 증명하려고했지만 할 수 없습니다. 나는 어리석게도, 공통 차트를 포함하는 쌍으로 일관된 차트로 만들어진 서로 다른 방향의 두 아틀라스가 있다고 가정했습니다.$ \varphi_1 $:
$$A_1=\{\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_m,...\}$$ $$A_2=\{\varphi_1,\varphi'_2,...,\varphi'_m,...\}$$
그러나 여기서 나는 어떤 어리 석음도 얻을 수 없습니다. 누구든지 제발 도와 줄 수 있습니까?
답변
"surface"는 보통 2 차원을 의미하기 때문에 "surface"대신 "manifold"라는 용어를 사용할 것입니다.
표기법을 사용하겠습니다. $M$ 문제의 매니 폴드를 위해.
당신은 어떻게 든 다양한 가설을 이용해야합니다. $M$연결되었다. 매니 폴드는 로컬 경로 연결이므로 연결된 로컬 경로 연결 공간이 경로 연결이라는 정리를 사용할 수 있습니다.
일반적인 차트 고려 $\varphi_1 : U_1 \to \mathbb R^k$ 에 $A_1 \cap A_2$, 기준점 수정 $p \in U_1$.
이제 모든 차트가 $A_1$ 및 모든 차트 $A_2$ 겹치는 부분에서 일관성이 있습니다.
고려 $x \in M$, 차트 선택 $\phi_I : U_I \to \mathbb R^k$ 에 $A_1$ 과 $\varphi'_J : U'_J \to \mathbb R^k$ 에 $A_2$, 그런 $x \in U_I \cap U'_J$. 우리는 그것을 보여야합니다$\varphi_I$ 과 $\varphi'_J$ 시점에서 일관성 $x$.
매니 폴드의 경로 연결 사용 $M$, 연속 경로 선택 $\gamma : [0,1]$ 그런 $\gamma(0)=p$ 과 $\gamma(1)=x$. 세트 이후$\{U_i \cap U'_j\}_{i,j}$ 덮개 $M$, 그들의 역 이미지 $\{\gamma^{-1}(U_i \cap U'_j)\}_{i,j}$ 덮개 $[0,1]$. Lebesgue Number Lemma를 적용하면 정수를 선택할 수 있습니다.$N \ge 1$, 분해 $[0,1]$ 하위 간격으로 $I_m = [\frac{m-1}{N},\frac{m}{N}]$, $m=1,\ldots,N$, 그래서 $\gamma(I_m)$ 교차로 중 하나의 하위 집합입니다. $U_{i(m)} \cap U'_{j(m)}$.
우리는 알고 있습니다 $\varphi_{i(1)}$ 과 $\varphi'_{j(1)}$ 둘 다에서 서로 일치합니다. $\gamma(0)=p$, 둘 다 $\varphi_1$. 경로 고려$\gamma \mid I_1$ 그리고하자 $t \in I_1 = [0,1/N]$ 다를 $0$ ...에 $1/N$. 같이$t$ 변화, 두 차트의 중첩 맵의 파생물 결정 요인 $\varphi_{i(1)}$ 과 $\varphi'_{j(1)}$ 지속적으로 변하고 모든 곳에서 0이 아니며 다음에서 양수입니다. $t=0$, 따라서 $t=1/N$. 이것은$\varphi_{i(1)}$ 과 $\varphi'_{j(1)}$ 일관된다 $\gamma(1/N)$.
이제 우리는 유도 증명을합니다. $\varphi_{i(m)}$ 과 $\varphi'_{j(m)}$ 일관된다 $\gamma(m/N)$, 우리는 $\varphi_{i(m+1)}$ 과 $\varphi'_{j(m+1)}$ 일관된다 $\gamma((m+1)/N)$. 이후$\varphi_{i(m)}$ 과 $\varphi_{i(m+1)}$ 일관된다 $\gamma(m/N)$, 이후 $\varphi'_{j(m)}$ 과 $\varphi'_{j(m+1)}$ 일관된다 $\gamma(m/N)$, 그것은 다음과 같습니다 $\varphi_{i(m+1)}$ 과 $\varphi'_{j(m+1)}$ 일관된다 $\gamma(m/N)$. 이제 증명은 이전 단락에서와 같이 두 차트의 겹침 맵의 미분 결정자의 연속성을 사용하여 계속됩니다.$\varphi_{i(m+1)}$ 과 $\varphi'_{j(m+1)}$ ...에서 $\gamma(t)$, 같이 $t \in I_{m+1}$ ~에서 다릅니다 $m/N$ ...에 $(m+1)/N$및 해당 차트의 일관성은 $\gamma(m/N)$, 일관성 추론 $\gamma((m+1)/N)$. 이것으로 유도 단계가 완료되었습니다.
증명을 완료하기 위해 우리는 $\varphi_{i(N)}$ 과 $\varphi'_{j(N)}$ 일관된다 $\gamma(N/N)=x$. 우리는 또한 알고 있습니다$\varphi_I$ ~와 일치 $\varphi_{i(N)}$, 및 $\varphi'_J$ ~와 일치 $\varphi'_{j(N)}$ ...에서 $x$. 따라서,$\varphi_I$ 과 $\varphi'_J$ 일관된다 $x$.
허락하다 $M$ 너의 $k$차트와 관련하여 정렬 된 차원 표면 $\{ \varphi_i\}_i$, $\varphi_i : \mathbb R^k\rightarrow U_i \subset_{open } M $. $\exists \ \omega\in \Omega^k(M)$ 그런 $\omega$모든 지점에서 사라지지 않습니다. 이것은 가능합니다$M$ 방향이 있습니다. $\varphi_i^*\omega=g_i \lambda$ 어디 $\lambda=dx_1\wedge dx_2\wedge \dots dx_n$ 과 $g_i:\mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$사라지지 않는 부드러운 기능입니다. 차트가 일관 적이기 때문에 모두$g_i$의는 긍정적이거나 모두 부정적입니다. 모든$g_i$의 긍정적입니다.
이제 차트가 있습니다. $\{ \varphi_1, \varphi_j'\}_j $ 우리가 얻기 전에 $\varphi^*_1 \omega =g_1\lambda$ 과 ${\varphi'}_j^*\omega=h_j \lambda$. 위와 동일한 논리로 다음 중 하나를 얻습니다.$\{g_1, h_j \}_j$모두 긍정적 인 기능이거나 모두 부정적입니다. 하지만 그때부터$g_1$ 긍정적입니다, 우리는 모든 것을 얻습니다 $h_j$의 긍정적입니다. 따라서 동일한 방향을 얻습니다.