연속 주사 기능을 사용할 수없는 이유 $\mathbb R$ 위에 $[-1, 1]$ 불연속적인 역이 있습니까?
Aug 19 2020
여기 @Ian은 특정 속성이 있다고 말합니다.$\mathbb R$ 그리고 가상의 연속 주사 함수를 방해하는 간격 $\mathbb R$ 위에 $[-1, 1]$불연속적인 역을 갖는 것으로부터. 이 속성은 무엇입니까?
답변
2 mathcounterexamples.net Aug 19 2020 at 21:03
연속 주입 맵 $f$두 실제 간격 사이는 단조롭습니다. 만약$f$ 또한 열린 간격의 직접 이미지는 열린 간격입니다 (유도 된 토폴로지의 경우 $[-1,1]$).
따라서 모든 열린 간격의 역 이미지는 $f^{-1}$열려 있습니다. 증명$f^{-1}$ 연속적입니다.
1 TsemoAristide Aug 19 2020 at 20:57
이러한 $f$존재할 수 없습니다. 중히 여기다$f(x)=1$, 허락하다 $a<x<b$, 가정 $f(a)<f(b)$, $f([a,x])$ 연속지도에 의해 연결된 집합의 이미지가 연결되어 있기 때문에 간격입니다. $f(a)$ 과 $f(x)=1$, 이후 $f(a)<f(b)<1$, 포함 $f(b)$. 존재$c\in [a,x]$ 그런 $f(x)=f(b)$. 모순.
만약 $f(b)<f(a)$, $f([b,x])$ 포함 된 간격입니다. $f(a)$ 모순.