연속체 가설을 통한 진실, 확률 및 공리의 기초
S를 ZFC의 구조 / 언어 (PL 1 포함)라고합시다. CH가 잘 알려진 연속체 가설을 참조하도록하십시오. 내 주장은 다음과 같으며 그것이 사실인지 틀린지 그리고 그 이유를 말할 수 있습니까?
S에서는 호변과 모순이 이미 참 / 거짓이고 CH는 그렇지 않기 때문에 CH는 참도 거짓도 아닙니다.
S에서 공리가 하나만 있다고 가정 해 봅시다 : 빈 집합이 있습니다. 이제이 시나리오에서 CH는 여전히 세트의 카디널리티에 대해 전혀 말할 수 없기 때문에 참도 거짓도 아닙니다 (그래서 우리는 CH에 대해 말할 수 없습니다).
S에서 ZFC를 가정한다고 가정하겠습니다. 이제 세트의 카디널리티에 대해 이야기 할 수 있습니다. 즉, 여기서 CH는 wff이므로 참 또는 거짓입니다. 그러나 우리는 그것이 어떤 것인지 증명할 수 없습니다 (Gödel, Cohen). 그러나 그것은 의미합니다 : CH는 바로이 순간 ZFC에서 참 x 또는 거짓입니다. 우리는 알지 못하며 결코 알 수 없습니다!
ZFC (ZFC + CH)에서 CH가 참이라고 잔인하게 가정하면 불일치가 없습니다 (Gödel의 증거).하지만 ZFC + ~ CH를 취하면 불일치가 없음을 증명할 수 있습니다 (Cohen). 따라서 ZFC는- 느슨하게 말함-어부의 그물이 때때로 특정 물고기를 잡기에는 너무 큰 것처럼 CH의 진실 / 거짓을 제대로 잡기에는 너무 일반적입니다.
답변
여기에는 몇 가지 문제가 있는데, 처음에는 중요하지 않을 수 있지만 시간이 지남에 따라 (이미 매우 미묘한) 그림이 흐려질 것입니다.
우선, 구조 , 이론 및 언어를 결합 하고 있습니다 . 복잡성의 증가 순서 :
언어 (도 불리는 서명 또는 어휘 )와 같은 비 논리 기호의 집합$\{\in\}$ 또는 $\{+,\times,0,1,<\}$.
이론은 일차 문장의 집합이며, 언어$\Sigma$ ㅏ $\Sigma$-이론은 언어로 된 문장으로 구성된 이론입니다. $\Sigma$ -예 $\mathsf{ZFC}$ 이다 $\{\in\}$-이론과 1 차 $\mathsf{PA}$ 이다 $\{+,\times,0,1,<\}$-이론.
주어진 언어 의 구조 는 해당 언어의 다양한 기호에 대한 해석과 함께 집합입니다.https://en.wikipedia.org/wiki/Structure_(mathematical_logic)#Interpretation_function.
특정 기호 문자열이 wff인지 여부는 관련된 언어 에만 달려 있으며 , 고려중인 공 리나 특별히 초점을 맞추고있는 구조 (있는 경우)가 아닙니다.$\mathsf{CH}$ 언어의 wff $\{\in\}$. 비어있는 것$\{\in\}$-이론 (귀하의 "$S$")는 할 수 없습니다 에 대한 기본적인 것들을 증명 $\mathsf{CH}$및 관련 문장. 그래서$S$ 말할 수있다 $\mathsf{CH}$, 할 말이 많지 않습니다. 이 문제는$(1)$ 과 $(2)$, 명시 적 $(3)$.
이제 더 미묘한 요점 인 진실과 허위로 넘어갑니다 . 만족 관계$\models$ 구조와 문장 / 이론을 "$\mathcal{A}\models\varphi$"(각각."$\mathcal{A}\models\Gamma$")"로 읽는 중$\varphi$ 사실이다 $\mathcal{A}$"(resp."의 모든 문장 $\Gamma$ 사실이다 $\mathcal{A}$"). 그러나 우리 는이 문맥 에서만 "참 "이라는 용어를 사용합니다 . 이론에 대해 이야기 할 때 관련 용어는 증명할 수 있습니다.
이론과는 반대로 구조에 대해 "참"및 "거짓"과 같은 용어를 예약하는 주된 이유는 이중가와 같은 진리의 표준 속성이 이론의 입증 가능성이 아닌 구조의 진실만을 보유하기 때문입니다. 용어를 분리함으로써 더 쉽게 정확하고 미묘한 오류를 피할 수 있습니다. 이것은 당신의 관점에서 문제입니다$(3)$, 진실과 증명 가능성이 뒤섞인 곳. 특히, 성명서
CH는이 순간 ZFC에서 참 xor 거짓입니다. 우리는 알지 못하며 결코 알 수 없습니다.
구문 분석하지 않습니다.
OK, 불행하게도 당신이 할 찾아 사람들은 일에 해당하는 말 / 거짓의를$\mathsf{ZFC}$. 연결은 문장이 이론에서 입증 될 수 있다는 것입니다.$T$ https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_completeness_theorem 모든 모델에서 사실입니다. $T$, 그래서 이것은 완전히 정당화되지 않습니다. 그러나 이것은 용어의 남용이며 주제의 기본 사항을 습득 할 때까지 피해야합니다.
진실에서 증명 가능성으로 전환 한 후 $(4)$다음 하나 개 약간의 추가 가설과 올바른 : 가정$\mathsf{ZFC}$처음에는 일관성이 있습니다.$\mathsf{ZFC+CH}$ 과 $\mathsf{ZFC+\neg CH}$ 일관성이 있습니다.