요인 $2n^2 \leq n$?
얼마나 많은 요인 $2n^2$ 보다 작거나 같음 $n$? 나는 요인의 수를 알고$n^2$ 이하 $n$ 요소 수의 절반입니다. $n^2$ (각 요인 $< n$ 보다 큰 하나에 해당 $n$),하지만 $2n^2$완전히 다른 경우 인 것 같습니다. 이에 대한 표현을 찾을 수있는 방법이 있습니까? 그렇지 않다면 알고리즘이 있습니까? 나는 조합론과 소인수 분해를 모두 조사했지만 막 다른 골목에 도달했습니다.
답변
나는 일반적인 분석 솔루션을 보지 못합니다. 왜냐하면 그것은 소인수 분해에 의존하는 것처럼 보일 것이기 때문입니다. $n$.
그러나 OP는 또한 코드를 요구합니다. 매우 간단합니다. 에 티카 :
myfun[n_: Integer] := Length[
Select[Divisors[2 n^2], # <= n &]]
그래서:
myfun[9098345]
(* 27 *)
다음은 플롯입니다.
이것은 문제의 직접적인 부분은 아니지만 문제의 동기 인 것 같습니다 . 위의 기능이$f(n)$, 계산하다 $F(N) = \sum\limits_{n=1}^N f(n)$, for $N = 10^{12}$.
내가 생각하는 계산의 수 : 접근 방식은 다음과 같다$2$그 합계의 s. 그런 다음 수를 계산$3$에스. 등등, 그리고 그들을 더하십시오.
개수 $2$s는 $10^{12}/2$. 개수$3$s는 $10^{12}/3$. 등등. 그러나 총 계산에서 우리가 더한 최대 값은 얼마입니까? 나는 그것이 허용되는 가장 큰 요인이어야 한다고 생각 한다.$10^{12}$ 합계의 (마지막) 기간, 즉, $k_{max} = \sqrt{50} \cdot 10^5 = 707107$,에서 얻은 $2 n^2 = 10^{12}$ 계산.
그게 맞다면 : $F(10^{12}) = 10^{12} \sum\limits_{k = 1}^{k_{max}} \frac{1}{k} = 10^{12}\ {\rm HarmonicNumber}(k_{max}) = 10^{12} \cdot 14.0461536491411$.
포함되어야 할 반올림 아티팩트가있을 수 있지만 이것이 올바른 접근 방식이라고 생각합니다. 누군가는 더 많은주의를 기울여야합니다.
이것은 매우 흥미로운 질문입니다. 취하다$n=2^{a}(2k+1)$ 일부 정수 $a$ 과 $k$. f (x) = 정수 x의 양의 제수 수라고합시다. 의 요인 이후$2n^2\leq n$ 우리는 많은 요소가 필요합니다 $2^{2a+1}(2k+1)^2$. 따라서 우리는$f(2^a(2k+1))+c_{a}$.어디 $c_{a}$오류 요인은 결정적이어야하는 작은 경계 요인을 갖습니다. 대략적인 생각이지만 경계를 찾는 것이 아니라 힌트를 위해 작은 경우를 시도해 볼 수 있습니다. 그러나하자$g(x)=$x보다 작은 가장 큰 정수, $$c_{a}\leq f(g(2^{\frac{2a+1}{2}}(2k+1)))-f(2^a(2k+1))$$. 우리가 아는 곳 $f$ 유명한 제수 함수 또는 $\tau$ 기능 및 $g$바닥 함수입니다. 경계에는이 링크를 사용하고 제수 함수의 합에는 하한을 사용합니다.