용어 : 국부적으로 한정된 그룹의 부드러운 표현.

Aug 17 2020

허락하다 $G$ 지역적으로 한정된 그룹이어야합니다.

부드러운 표현은 복잡한 표현입니다 ($V,\rho$) 의 $G$ 어떤 안정제든지 $v \in V$ 열려 있습니다.

하나 보여줄 수 있습니다. $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ 거짓말 그룹이며 NSS), (유한 차원) 표현 $G$ 다음 경우에만 연속적입니다. $\ker(\rho)$ 열려 있습니다.

따라서 유한 차원에서 연속 표현은 부드럽습니다.

또한 $$ \ker(\rho) = \cap_v \text{Stab}_G(v), $$ 오른쪽의 교차점은 유한 차원에 대해 유한 한 것으로 간주 할 수 있습니다. $V$, smooth는 또한 연속성을 의미합니다. 따라서 이것들은 유한 차원과 동일합니다.

무한 차원은 어떻습니까? 둘 중 하나가 다른 것을 의미합니까?

이 용어의 이유는 무엇입니까? 나는 이러한 의미가 부드러워 야한다고 생각하기 때문에 물어 본다. 반드시 그 반대는 아니다.

답변

1 Peng Aug 21 2020 at 18:09

여기서 연속은지도를 의미한다고 가정합니다. $P:G \times V \rightarrow V$V에 이산 토폴로지가 주어지면 연속적입니다. 그런 다음 매끄럽다는 것은 문자 그대로 정의에 따라 연속을 의미합니다 (P 아래에서 단일 벡터의 역 이미지가 열려 있는지 확인하십시오)

하지만 그룹에 의존해야하므로 상대방이 옳다고 생각하지 않습니다.

paulgarrett Aug 21 2020 at 18:56

이미 $G=\mathbb Z_p$ 행동 $L^2(\mathbb Z_p)$ 번역은 연속적이지만 로컬에서 상수가 아닌 함수를 쉽게 만들 수 있습니다. $L^2(\mathbb Z_p)$.

또한 smooth repn 공간에 "위상이 없음"또는 "분리 된 토폴로지가 있음"이라고 말하는 것은 잘못된 것입니다. 오히려 그들은 유한 차원 부분 공간의 오름차순 결합으로 표현되는 colimit 토폴로지를 가지고 있습니다. 예, 그러한 공간의 모든 선형지도는 연속적입니다 ... 그렇기 때문에 토폴로지에 대한 잘못된 설명이 재난으로 직접 연결되지 않습니다. :)

따라서 최상의 경우 모든 컴팩트 오픈에 대해 $K$$G$, 부분 공간 $V^K$$K$-고정 벡터는 유한 차원이며 $V=\bigcup V^K$. 이것은 그렇지 않습니다$V=L^2(\mathbb Z_p)$하지만이 있습니다 에 대한 올바른$V$ 그만큼 $K$-유한 벡터. 그런 것.