유한 차원 C *-대수의 특성화?

Question

$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$허락하다 $A$ 유한 차원이다 $*$-대수 이상 $\mathbb C$.
(즉, 인볼 루션을 갖춘 준 대수$*:A\to A$ 만족스러운 $(ab)^*=b^*a^*$ 과 $(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$.)

그것을 위해 가정하십시오 $\forall a\in A$ 우리는 $\Spec(a^*a)\subset\mathbb R_+$.
그것을 따르는가$A$ C *-대수는 무엇입니까?

여기, 스펙트럼 $\Spec(x)$ 요소의 $x$ 스칼라 집합입니다. $\lambda\in \mathbb C$ 그런 $x-\lambda$ 뒤집을 수 없습니다.

Answer 1

허락하다 $V$무의식적 인 반 선형 별 연산 (예 : 곱셈을 잊은 C *-대수)을 갖춘 복잡한 벡터 공간입니다. 갖추어 주다$V$ 똑같이 제로 곱셈, 즉 $xy=0$ 모든 $x$ 과 $y$ 에 $V$. 그런 다음 통일$V$반례입니다. 사실 모든 요소는$a$ 의 $V$ 무능하므로 $\text{spec}(a) = \{0\}$. 결과적으로 형태의 모든 요소의 스펙트럼$a-\lambda$ 이다 $\lambda$ 필요한 조건을 쉽게 확인할 수 있습니다.

하나 $a^*a=0$ 매번 $a$ 에 $V$, 그래서 $\tilde V$ C *-대수가 될 수 없습니다.