유리수를 임의로 찾을 수 있다는 증거 $\sqrt{2}$: 직접적인 접근. [복제]

Dec 20 2020

명제의 성명 :

제안 . 모든 유리수를 위해$\epsilon > 0$, 음이 아닌 유리수가 있습니다. $x$ 그런 $x^{2} < 2 < (x+\epsilon)^2$.

명제를 증명하는 가장 일반적인 접근 방식은 모순을 사용하는 것입니다 ( 1 , 2 ).

내 질문은 : 제안을 직접 증명할 수 있습니까? 보다 구체적으로 함수를 찾을 수 있습니까?$f: \mathbb Q^+\rightarrow \mathbb Q^+$ 임의의 긍정적 합리적 $\epsilon$, 우리는

$$f(\epsilon)^2 < 2 < (f(\epsilon) + \epsilon)^2 $$

?

답변

3 Ben Dec 20 2020 at 21:33

밝히다 $f(\varepsilon)$ 잘림 $\sqrt{2}$ ...에 $n$ 소수점 이하 자릿수 $10^{-n} \leq \varepsilon$ 가장 가까운 거듭 제곱입니다 $10$ 아래에서.

이것은 $$f(\varepsilon) < \sqrt{2} < f(\varepsilon) + 10^{-n} \leq f(\varepsilon) + \varepsilon$$

설명하기 위해 $\varepsilon=0.2$ 그때 $n=1$ 그리고 불평등은 $$1.4 < \sqrt{2} < 1.5 \leq 1.6$$

1 YvesDaoust Dec 20 2020 at 22:18

취하다 $$\epsilon\left\lfloor\frac{\sqrt2}\epsilon\right\rfloor.$$ 이 합리적은 $\epsilon$ 멀리 떨어져 $\sqrt2$.

AdamRubinson Dec 20 2020 at 23:06

사실 사용하여 임의의 두 실수 사이의 유리수가 존재를, 어떤 합리적인를 부여$\varepsilon$ 그런 $4\sqrt{2}>\varepsilon>0, \exists x \in \mathbb{Q}$ 그런 $x \in (\sqrt{2} - \frac{\varepsilon}{2}, \sqrt{2})$, 다음을 제공합니다. $x^2 < 2$$(x+\varepsilon)^2 > 2.$